Determine, com a precisão de
, o comprimento do gráfico da elipse com a equação
Passo 1
Beleza, o problema pede o comprimento (ou “perímetro”) de uma elipse dada por
com precisão de
. Isso cai na parte de “cálculo de perimetro de elipse”, que envolve uma integral elíptica ou aproximações de Ramanujan. Para resolver a gente vai precisar:
- Identificar os semi-eixos
e da elipse. - Conhecer a forma integral do perímetro:
- Usar a bela fórmula aproximada de Ramanujan (segunda aproximação), que já dá quase a precisão exata com pouca conta.
Passo 2
Primeiro, reescreve a equação no formato padrão
Dessa forma a gente vê que
Passo 3
O perímetro exato seria
mas essa integral não tem solução em funções elementares. Por isso a gente usa a aproximação de Ramanujan, que esconde todo o integral numa fórmula fechada e é precisíssima.
Passo 4
Define o parâmetro
Aqui
Passo 5
A fórmula de Ramanujan (segunda aproximação) é
É só encaixar
,
e
.
Passo 6
Substituindo
e
:
Passo 7
Calculemos devagar:
-
. -
. -
. - Denominador do quociente:
. - Fração:
. - Colocando tudo no colchete:
Passo 8
Agora é só multiplicar:
Resposta
O comprimento da elipse, com precisão de
, é aproximadamente