Determine, com a precisão de 10^-6, o comprimento do gráfico da elipse com a equação 4 x^2+9 y^2=36

Passo 1

Beleza, o problema pede o comprimento (ou “perímetro”) de uma elipse dada por
4x^2 + 9y^2 = 36
com precisão de P = 4 integral0^pi/2 raiza^2sin^2 t + b^2cos^2 t,dt . Isso cai na parte de “cálculo de perimetro de elipse”, que envolve uma integral elíptica ou aproximações de Ramanujan. Para resolver a gente vai precisar:
  • Identificar os semi-eixos e da elipse.
  • Conhecer a forma integral do perímetro:
  • Usar a bela fórmula aproximada de Ramanujan (segunda aproximação), que já dá quase a precisão exata com pouca conta.

Passo 2

Primeiro, reescreve a equação no formato padrão
x^29 + y^24 = 1
Dessa forma a gente vê que
a = 3(semi-eixo maior), b = 2(semi-eixo menor)

Passo 3

O perímetro exato seria
P = 4 integral0^pi/2raiza^2sin^2 t + b^2cos^2 t,dt,
mas essa integral não tem solução em funções elementares. Por isso a gente usa a aproximação de Ramanujan, que esconde todo o integral numa fórmula fechada e é precisíssima.

Passo 4

Define o parâmetro
h = (a-b)^2(a+b)^2
Aqui
a - b = 3 - 2 = 1, a+b=5 Longrightarrow h = 1^25^2 = 0.04

Passo 5

A fórmula de Ramanujan (segunda aproximação) é
P approx pi,(a+b),l[,1 + 3h10 + raiz4 - 3hr]
É só encaixar , e .

Passo 6

Substituindo P approx pi cdot 5 ;l[,1 + 3 times 0.0410 + raiz4 - 3cdot0.04r] e :

Passo 7

Calculemos devagar:
  1. 1 + 0.010026 = 1.010026 .
  2. .
  3. .
  4. Denominador do quociente: .
  5. Fração: .
  6. Colocando tudo no colchete:

Passo 8

Agora é só multiplicar:
P approx 5pi times 1.010026 = 5 times 3.1415926536 times 1.010026 approx 15.865439

Resposta

O comprimento da elipse, com precisão de boxed15.865439 , é aproximadamente

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