Dado o vetor inicial x^{(0)}=(1,-1)^{T}, aplicando o método das potências, encontre as aproximações \lambda^{(k)} e x^{(k)}, até a iteração k=4, para o autovalor dominante \lambda_{1} e o respectivo autovetor v^{(1)} da matriz A.
e o vetor inicial \,x^{(0)}=(1,-1)^{T}\,. Pede-se aplicar o método das potências e obter as aproximações \lambda^{(k)} e x^{(k)} até k=4 para o autovalor dominante \lambda_{1} e seu autovetor associado v^{(1)}.
Informações relevantes fornecidas: \,A (matriz 2\times2) e \,x^{(0)}=(1,-1)^{T}.
Queremos as iterações k=1,2,3,4: os vetores normalizados x^{(k)} obtidos pelo método das potências e estimativas \lambda^{(k)} do autovalor dominante.]
Passo 2
Escolha do método e explicação didática do algoritmo que vou usar (sem assumir que você já sabe):
Vou aplicar o método das potências na forma tradicional com estas etapas por iteração:
Calcular \,y^{(k)}=A\,x^{(k-1)}.
Normalizar y^{(k)} dividindo pelo seu maior componente em valor absoluto (norma infinito) para obter x^{(k)}. Isto facilita as contas e evita números muito grandes; com matrizes pequenas fica claro o comportamento do método.
Estimar o autovalor dominante por meio do quociente de Rayleigh usando o vetor normalizado x^{(k)}:
Breve explicação do que é o quociente de Rayleigh: para qualquer vetor não-nulo x, o número \dfrac{x^{T}Ax}{x^{T}x} fornece uma estimativa do autovalor associado à direção de x; é invariante por escala (ou seja, depende só da direção de x), por isso podemos usar qualquer normalização para x^{(k)}.
Observação prática: para preservar contas simples farei a normalização escolhendo sempre a primeira componente igual a 1 quando o primeiro componente for o de maior módulo; isto é equivalente a dividir por essa componente (norma infinito), e os outros componentes virão como frações simples.
Interpretação e incentivo rápido: vemos que as estimativas \lambda^{(k)} oscilam e convergem para o autovalor dominante \lambda_{1}=4. Os vetores x^{(k)} convergem para a direção do autovetor associado, que (pela resolução exata) é qualquer múltiplo de \begin{pmatrix}3\\[4pt]1\end{pmatrix}; note que as segundas componentes dos x^{(k)} aproximam 1/3 (por exemplo \dfrac{191}{574}\approx 0{,}3328 ), ou seja x^{(k)} tende a algo proporcional a \begin{pmatrix}1\\[4pt]\tfrac{1}{3}\end{pmatrix}, que corresponde ao autovetor \begin{pmatrix}3\\[4pt]1\end{pmatrix}.]