Considere a matriz
A=\left(\begin{array}{cc} 14 & -30 \\\\ 5 & -11 \end{array}\right)
Dado o vetor inicial x^{(0)}=(1,-1)^{T}, aplicando o método das potências, encontre as aproximações \lambda^{(k)} e x^{(k)}, até a iteração k=4, para o autovalor dominante \lambda_{1} e o respectivo autovetor v^{(1)} da matriz A.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A=\begin{pmatrix}14 & -30 \\[4pt] 5 & -11\end{pmatrix}
e o vetor inicial \,x^{(0)}=(1,-1)^{T}\,. Pede-se aplicar o método das potências e obter as aproximações \lambda^{(k)} e x^{(k)} até k=4 para o autovalor dominante \lambda_{1} e seu autovetor associado v^{(1)}.
Informações relevantes fornecidas:
\,A (matriz 2\times2) e \,x^{(0)}=(1,-1)^{T}.
Queremos as iterações k=1,2,3,4: os vetores normalizados x^{(k)} obtidos pelo método das potências e estimativas \lambda^{(k)} do autovalor dominante.]

Passo 2

Escolha do método e explicação didática do algoritmo que vou usar (sem assumir que você já sabe):
Vou aplicar o método das potências na forma tradicional com estas etapas por iteração:
  1. Calcular \,y^{(k)}=A\,x^{(k-1)}.
  2. Normalizar y^{(k)} dividindo pelo seu maior componente em valor absoluto (norma infinito) para obter x^{(k)}. Isto facilita as contas e evita números muito grandes; com matrizes pequenas fica claro o comportamento do método.
  3. Estimar o autovalor dominante por meio do quociente de Rayleigh usando o vetor normalizado x^{(k)}:
\lambda^{(k)}=\frac{(x^{(k)})^{T}A\,x^{(k)}}{(x^{(k)})^{T}x^{(k)}}.
Breve explicação do que é o quociente de Rayleigh: para qualquer vetor não-nulo x, o número \dfrac{x^{T}Ax}{x^{T}x} fornece uma estimativa do autovalor associado à direção de x; é invariante por escala (ou seja, depende só da direção de x), por isso podemos usar qualquer normalização para x^{(k)}.
Observação prática: para preservar contas simples farei a normalização escolhendo sempre a primeira componente igual a 1 quando o primeiro componente for o de maior módulo; isto é equivalente a dividir por essa componente (norma infinito), e os outros componentes virão como frações simples.

Passo 3

Iteração k=1.
Calcule y^{(1)}=A\,x^{(0)}:
y^{(1)}= \begin{pmatrix}14 & -30 \\[4pt] 5 & -11\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}14-(-30)\\[4pt]5-(-11)\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}44\\[4pt]16\end{pmatrix}.
O maior componente em módulo de y^{(1)} é 44. Normalizamos dividindo por 44 para obter x^{(1)}:
x^{(1)}=\frac{1}{44}\begin{pmatrix}44\\[4pt]16\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]\dfrac{16}{44}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]\dfrac{4}{11}\end{pmatrix}.
Agora calculamos a estimativa \lambda^{(1)} pelo quociente de Rayleigh usando x^{(1)}. Primeiro computamos A x^{(1)}:
A x^{(1)}=\begin{pmatrix}14 & -30 \\[4pt] 5 & -11\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\[4pt]\dfrac{4}{11}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}14-\dfrac{120}{11}\\[6pt]5-\dfrac{44}{11}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\dfrac{34}{11}\\[6pt]1\end{pmatrix}.
Então
\lambda^{(1)}=\frac{(x^{(1)})^{T}A x^{(1)}}{(x^{(1)})^{T}x^{(1)}} =\frac{\begin{pmatrix}1 & \dfrac{4}{11}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\dfrac{34}{11}\\[4pt]1\end{pmatrix}} {1+\left(\dfrac{4}{11}\right)^{2}} =\frac{\dfrac{34}{11}+\dfrac{4}{11}}{1+\dfrac{16}{121}} =\frac{\dfrac{38}{11}}{\dfrac{137}{121}} =\frac{4598}{1507}\approx 3{,}0513.]

Passo 4

Iteração k=2.
Começo com x^{(1)}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]\dfrac{4}{11}\end{pmatrix}. Calcule
y^{(2)}=A\,x^{(1)}=\begin{pmatrix}\dfrac{34}{11}\\[4pt]1\end{pmatrix},
como já obtivemos no passo anterior. O maior componente em módulo é \dfrac{34}{11}, então normalizamos dividindo por esse valor:
x^{(2)}=\frac{1}{34/11}\begin{pmatrix}\dfrac{34}{11}\\[4pt]1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1\\[4pt]\dfrac{11}{34}\end{pmatrix}.
Agora A x^{(2)}:
A x^{(2)}=\begin{pmatrix}14 & -30 \\[4pt]5 & -11\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\[4pt]\dfrac{11}{34}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\dfrac{73}{17}\\[6pt]\dfrac{49}{34}\end{pmatrix}.
O quociente de Rayleigh:
\lambda^{(2)}=\frac{(x^{(2)})^{T}A x^{(2)}}{(x^{(2)})^{T}x^{(2)}} =\frac{\dfrac{5503}{1156}}{\dfrac{1277}{1156}}=\frac{5503}{1277}\approx 4{,}3096.]

Passo 5

Iteração k=3.
Partindo de x^{(2)}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]\dfrac{11}{34}\end{pmatrix}, calculamos
y^{(3)}=A x^{(2)}=\begin{pmatrix}\dfrac{73}{17}\\[6pt]\dfrac{49}{34}\end{pmatrix}.
O maior componente é \dfrac{73}{17}. Normalizando:
x^{(3)}=\frac{1}{73/17}\begin{pmatrix}\dfrac{73}{17}\\[6pt]\dfrac{49}{34}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1\\[6pt]\dfrac{49}{146}\end{pmatrix}.
Calculamos A x^{(3)}:
A x^{(3)}=\begin{pmatrix}\dfrac{287}{73}\\[6pt]\dfrac{191}{146}\end{pmatrix}.
O quociente de Rayleigh dá
\lambda^{(3)}=\frac{(x^{(3)})^{T}A x^{(3)}}{(x^{(3)})^{T}x^{(3)}} =\frac{\dfrac{93163}{21316}}{\dfrac{23717}{21316}}=\frac{93163}{23717}\approx 3{,}9286.]

Passo 6

Iteração k=4.
Com x^{(3)}=\begin{pmatrix}1\\[6pt]\dfrac{49}{146}\end{pmatrix}, temos
y^{(4)}=A x^{(3)}=\begin{pmatrix}\dfrac{287}{73}\\[6pt]\dfrac{191}{146}\end{pmatrix}.
O maior componente é \dfrac{287}{73}. Normalizando:
x^{(4)}=\frac{1}{287/73}\begin{pmatrix}\dfrac{287}{73}\\[6pt]\dfrac{191}{146}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1\\[6pt]\dfrac{191}{574}\end{pmatrix}.
Calculamos A x^{(4)}:
A x^{(4)}=\begin{pmatrix}\dfrac{1153}{287}\\[6pt]\dfrac{769}{574}\end{pmatrix}.
O quociente de Rayleigh resulta em
\lambda^{(4)}=\frac{(x^{(4)})^{T}A x^{(4)}}{(x^{(4)})^{T}x^{(4)}} =\frac{\dfrac{1470523}{329476}}{\dfrac{365957}{329476}} =\frac{1470523}{365957}\approx 4{,}0183.]

Passo 7

Interpretação e incentivo rápido: vemos que as estimativas \lambda^{(k)} oscilam e convergem para o autovalor dominante \lambda_{1}=4. Os vetores x^{(k)} convergem para a direção do autovetor associado, que (pela resolução exata) é qualquer múltiplo de \begin{pmatrix}3\\[4pt]1\end{pmatrix}; note que as segundas componentes dos x^{(k)} aproximam 1/3 (por exemplo \dfrac{191}{574}\approx 0{,}3328 ), ou seja x^{(k)} tende a algo proporcional a \begin{pmatrix}1\\[4pt]\tfrac{1}{3}\end{pmatrix}, que corresponde ao autovetor \begin{pmatrix}3\\[4pt]1\end{pmatrix}.]

Resposta

k=1:\quad \lambda^{(1)}=\dfrac{4598}{1507}\approx 3{,}0513,\quad x^{(1)}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]\dfrac{4}{11}\end{pmatrix}.\n
k=2:\quad \lambda^{(2)}=\dfrac{5503}{1277}\approx 4{,}3096,\quad x^{(2)}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]\dfrac{11}{34}\end{pmatrix}.\n
k=3:\quad \lambda^{(3)}=\dfrac{93163}{23717}\approx 3{,}9286,\quad x^{(3)}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]\dfrac{49}{146}\end{pmatrix}.\n
k=4:\quad \lambda^{(4)}=\dfrac{1470523}{365957}\approx 4{,}0183,\quad x^{(4)}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]\dfrac{191}{574}\end{pmatrix}.]

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