1. Encontre polinômio interpolador para função \operatorname{sen}(x) sobre três pontos: x_{1}=0, x_{2}=\pi / 2, x_{3}=\pi.

Passo 1

O enunciado pede: encontrar um polinômio interpolador para a função \operatorname{sen}(x) usando exatamente os três pontos dados.
Dados fornecidos: x_{1}=0,\;x_{2}=\pi/2,\;x_{3}=\pi.
O polinômio interpolador deve satisfazer os valores da função nos pontos: ou seja, deve valer \operatorname{sen}(x_{i}) em cada x_{i}. A resolução começa a partir destas informações.

Passo 2

O que é um polinômio interpolador e a fórmula de Lagrange (breve aula):
Um polinômio interpolador de grau no máximo n-1 para n pontos distintos (x_i,f(x_i)) é o polinômio p(x) que passa por todos esses pontos. A forma de Lagrange constrói p(x) como combinação linear das chamadas bases de Lagrange L_i(x), onde cada L_i(x) é um polinômio que vale 1 em x=x_i e 0 em todos os outros x_j ( j\neq i). A fórmula geral é:
p(x)=\sum_{i=1}^{n} f(x_i)\,L_i(x),
com
L_i(x)=\prod_{\substack{j=1\\\ j\neq i}}^{n}\frac{x-x_j}{x_i-x_j}.
Explicando as variáveis: \,x é a variável do polinômio que queremos; x_i são as abscissas dos pontos dados; f(x_i) são os valores da função nesses pontos. Cada L_i(x) é um produto de frações que zera em todos os x_j com j\neq i e vale 1 em x_i.

Passo 3

Calcule os valores de \operatorname{sen}(x) nos pontos fornecidos (isso simplifica muito a soma):
\operatorname{sen}(0)=0,\qquad \operatorname{sen}\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=1,\qquad \operatorname{sen}(\pi)=0.
Portanto, na soma de Lagrange só o termo associado a x_{2}=\tfrac{\pi}{2} contribui (os outros têm coeficiente zero).

Passo 4

Escrevemos explicitamente as bases L_1,L_2,L_3 usando x_1=0,\;x_2=\tfrac{\pi}{2},\;x_3=\pi. Usamos a fórmula
L_i(x)=\prod_{\substack{j=1\\\ j\neq i}}^{3}\frac{x-x_j}{x_i-x_j}.
Calcule cada denominador e simplify:
Para L_1(x) (com x_1=0):
L_1(x)=\frac{(x-x_2)(x-x_3)}{(x_1-x_2)(x_1-x_3)} =\frac{(x-\tfrac{\pi}{2})(x-\pi)}{(0-\tfrac{\pi}{2})(0-\pi)} =\frac{(x-\tfrac{\pi}{2})(x-\pi)}{\left(-\tfrac{\pi}{2}\right)\left(-\pi\right)} =\frac{(x-\tfrac{\pi}{2})(x-\pi)}{\tfrac{\pi^2}{2}} =\frac{2}{\pi^{2}}(x-\tfrac{\pi}{2})(x-\pi).
Para L_2(x) (com x_2=\tfrac{\pi}{2}):
L_2(x)=\frac{(x-x_1)(x-x_3)}{(x_2-x_1)(x_2-x_3)} =\frac{(x-0)(x-\pi)}{(\tfrac{\pi}{2}-0)(\tfrac{\pi}{2}-\pi)} =\frac{x(x-\pi)}{(\tfrac{\pi}{2})(-\tfrac{\pi}{2})} =\frac{x(x-\pi)}{-\tfrac{\pi^{2}}{4}} =-\frac{4}{\pi^{2}}\,x(x-\pi).
Reorganizando o sinal:
L_2(x)=\frac{4}{\pi^{2}}\,x(\pi-x).
Para L_3(x) (com x_3=\pi):
L_3(x)=\frac{(x-x_1)(x-x_2)}{(x_3-x_1)(x_3-x_2)} =\frac{x(x-\tfrac{\pi}{2})}{(\pi-0)(\pi-\tfrac{\pi}{2})} =\frac{x(x-\tfrac{\pi}{2})}{\pi\cdot\tfrac{\pi}{2}} =\frac{2}{\pi^{2}}\,x\bigl(x-\tfrac{\pi}{2}\bigr).

Passo 5

Agora montamos o polinômio interpolador usando os valores de \operatorname{sen} e as bases L_i:
p(x)=\sum_{i=1}^{3}\operatorname{sen}(x_i)\,L_i(x) = \operatorname{sen}(0)\,L_1(x)+\operatorname{sen}\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)\,L_2(x)+\operatorname{sen}(\pi)\,L_3(x).
Como \operatorname{sen}(0)=0 e \operatorname{sen}(\pi)=0, sobrou apenas
p(x)=1\cdot L_2(x)=L_2(x)=\frac{4}{\pi^{2}}\,x(\pi-x).

Passo 6

Simplifique o polinômio para uma forma polinomial padrão (opcional, mas útil na prova):
p(x)=\frac{4}{\pi^{2}}(\pi x - x^{2})=\frac{4}{\pi}x-\frac{4}{\pi^{2}}x^{2}.
Mostre a verificação rápida nos pontos dados (checar é sempre bom):
p(0)=0,\qquad p\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=\frac{4}{\pi^{2}}\cdot\tfrac{\pi}{2}\bigl(\pi-\tfrac{\pi}{2}\bigr) =\frac{4}{\pi^{2}}\cdot\tfrac{\pi}{2}\cdot\tfrac{\pi}{2}=1,\qquad p(\pi)=0.
Tudo confere com \operatorname{sen}(x) nos três pontos.

Passo 7

Breve comentário didático e motivação da escolha do método: escolhi Lagrange porque com três pontos a fórmula dá direto a base L_i e, como dois dos valores de seno são zero, a expressão simplifica muito — isso economiza cálculo na prova. Também é útil memorizar que, quando os extremos têm valor zero e o meio tem valor 1 (como aqui), um polinômio quadrático simétrico como \tfrac{4}{\pi^{2}}x(\pi-x) frequentemente aparece. A unicidade: qualquer polinômio de grau ≤2 que interpolar os três pontos deve ser este, pois a diferença entre dois tais polinômios teria três raízes distintas e seria o polinômio zero.

Resposta

p(x)=\frac{4}{\pi^{2}}\,x(\pi-x)=\frac{4}{\pi}x-\frac{4}{\pi^{2}}x^{2}.

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