- Encontre polinômio interpolador para função
sobre três pontos:
.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar um polinômio interpolador para a função
usando exatamente os três pontos dados.
Dados fornecidos: .
O polinômio interpolador deve satisfazer os valores da função nos pontos: ou seja, deve valer em cada
. A resolução começa a partir destas informações.
Dados fornecidos:
O polinômio interpolador deve satisfazer os valores da função nos pontos: ou seja, deve valer
Passo 2
O que é um polinômio interpolador e a fórmula de Lagrange (breve aula):
Um polinômio interpolador de grau no máximo para
pontos distintos
é o polinômio
que passa por todos esses pontos. A forma de Lagrange constrói
como combinação linear das chamadas bases de Lagrange
, onde cada
é um polinômio que vale
em
e
em todos os outros
(
). A fórmula geral é:
Um polinômio interpolador de grau no máximo
com
Explicando as variáveis:
é a variável do polinômio que queremos;
são as abscissas dos pontos dados;
são os valores da função nesses pontos. Cada
é um produto de frações que zera em todos os
com
e vale 1 em
.
Passo 3
Calcule os valores de
nos pontos fornecidos (isso simplifica muito a soma):
Portanto, na soma de Lagrange só o termo associado a
contribui (os outros têm coeficiente zero).
Passo 4
Escrevemos explicitamente as bases
usando
. Usamos a fórmula
Calcule cada denominador e simplify:
Para
(com
):
Para
(com
):
Reorganizando o sinal:
Para
(com
):
Passo 5
Agora montamos o polinômio interpolador usando os valores de
e as bases
:
Como
e
, sobrou apenas
Passo 6
Simplifique o polinômio para uma forma polinomial padrão (opcional, mas útil na prova):
Mostre a verificação rápida nos pontos dados (checar é sempre bom):
Tudo confere com
nos três pontos.
Passo 7
Breve comentário didático e motivação da escolha do método: escolhi Lagrange porque com três pontos a fórmula dá direto a base
e, como dois dos valores de seno são zero, a expressão simplifica muito — isso economiza cálculo na prova. Também é útil memorizar que, quando os extremos têm valor zero e o meio tem valor 1 (como aqui), um polinômio quadrático simétrico como
frequentemente aparece. A unicidade: qualquer polinômio de grau ≤2 que interpolar os três pontos deve ser este, pois a diferença entre dois tais polinômios teria três raízes distintas e seria o polinômio zero.