- Calcule valor aproximado da integral
utilizando regra de trapézios repetida, dividindo o intervalo por dois subintervalos (
).
- Demostre que o método de Euler aperfeiçoado
Passo 1
Questões e dados que o enunciado fornece:\n
- Questão 4 pede: calcular o valor aproximado da integral
usando a regra dos trapézios repetida (composta), dividindo o intervalo em dois subintervalos, isto é, com passo .\n - Questão 5 pede: demonstrar (ou derivar) o método chamado “Euler aperfeiçoado” dado pela fórmula
\n
Informações relevantes e pontos a usar:\n
Informações relevantes e pontos a usar:\n
- Para a questão 4 temos a função integranda
, intervalo , número de subintervalos (pois pedem dois subintervalos) e passo .\n - Para a questão 5 temos uma EDO na forma
. Usaremos a forma integral da solução entre e :
e aproximaremos essa integral de maneira adequada para obter o método pedido.\n
Não inicio a resolução ainda; apenas organizei o que é pedido e os dados que temos.
Não inicio a resolução ainda; apenas organizei o que é pedido e os dados que temos.
Passo 2
Explicando a regra dos trapézios composta (didático):\n
- Ideia: aproximar a área sob a curva por trapézios sobre cada subintervalo. Se dividimos
em subintervalos de comprimento e denotamos , então a regra dos trapézios composta dá a aproximação
- Por que essa fórmula? Em cada subintervalo
a área aproximada é a área do trapézio com bases e e altura , que vale . Somando esses trapézios para e agrupando obtém-se a expressão acima (os termos internos aparecem duas vezes e as extremidades aparecem com fator ).\n - Observação prática: essa fórmula é simples de aplicar manualmente; é exatamente o que a questão 4 pede (regra dos trapézios repetida com
).
Passo 3
Aplicando a regra dos trapézios composta à integral da questão 4:\n
- Temos
, , , .\n - Nós definimos os nós:
- A função é
. Calculamos os valores nos nós:
Passo 4
Calcule a aproximação com a fórmula do trapézio composta:\n
- Usando
substituímos os valores encontrados:
- Calcule passo a passo:
. . Então dentro do parêntese temos . Como , isso soma . Agora multiplicamos por :
- Em forma decimal,
.
Passo 5
Comparação rápida com o valor exato (útil para entender erro):\n
- O valor exato da integral é fácil de calcular com primitiva:
- A aproximação pelo trapézio composta com
deu . O erro é . Isso mostra que a aproximação é razoável, mas não perfeita; com mais subintervalos o erro diminuiria.
Passo 6
Iniciando a demonstração do método de Euler aperfeiçoado (intuição e base):\n
- Consideramos a EDO na forma
e um passo de malha entre e .\n - A identidade exata que relaciona
nos dois pontos é a fórmula integral:
- A ideia do método de Euler aperfeiçoado é aproximar a integral do lado direito de forma mais precisa que o método de Euler explícito. Uma aproximação natural é usar a regra do trapézio para a integral:
- Se pudéssemos usar
exato, obteríamos o método implícito do trapézio. Mas é desconhecido; então precisamos aproximar no extremo direito por algo que conhecemos.
Passo 7
Preditor explícito de Euler e uso na correção (motivação do “aperfeiçoado”):\n
- Uma aproximação simples para
é o passo de Euler explícito (preditor):
onde
é a aproximação conhecida em
.\n
- Usando essa predição para avaliar
em , substituímos por . Assim a integral fica aproximada por
Passo 8
Obtenção da fórmula final do método (juntando tudo):\n
- Substituindo a aproximação da integral na identidade exata, obtemos
- Agora substituímos
e escrevemos . Isso fornece
que é exatamente a fórmula do Euler aperfeiçoado pedida.\n
- Portanto, mostramos que o método é obtido aplicando a regra do trapézio à integral
e usando o preditor de Euler explícito para avaliar no extremo direito.
Passo 9
Comentário didático sobre o método (por que isso “aperfeiçoa” o Euler explícito):\n
- Intuitivamente: o Euler explícito usa só a inclinação em
para avançar. Aqui computamos uma inclinação média entre e (a média entre na esquerda e uma estimativa de na direita), o que corrige a tendência de erro do Euler simples.\n - Ordem do método: o Euler aperfeiçoado (também chamado método do trapézio explícito ou Heun em algumas variações) tem erro global de ordem
— isto é, é um método de segunda ordem. Uma maneira formal de ver isso é comparar a expansão em série de Taylor de com a expressão numérica e verificar que o erro por passo (erro de truncamento local) é , levando a erro global . (Se quiser, posso mostrar a expansão de Taylor detalhada passo a passo.)