1. Calcule valor aproximado da integral \int_{0}^{1 / 2} x^{2} d x utilizando regra de trapézios repetida, dividindo o intervalo por dois subintervalos ( h=1 / 4 ).
  2. Demostre que o método de Euler aperfeiçoado
y_{k+1}=y_{k}+h \frac{f\left(x_{k}, y_{k}\right)+f\left(x_{k}+h, y_{k}+h f\left(x_{k}, y_{k}\right)\right)}{2}

Passo 1

Questões e dados que o enunciado fornece:\n
  • Questão 4 pede: calcular o valor aproximado da integral \displaystyle \int_{0}^{1/2} x^{2}\,dx usando a regra dos trapézios repetida (composta), dividindo o intervalo em dois subintervalos, isto é, com passo h=1/4.\n
  • Questão 5 pede: demonstrar (ou derivar) o método chamado “Euler aperfeiçoado” dado pela fórmula
y_{k+1}=y_{k}+h\,\frac{f\left(x_{k},y_{k}\right)+f\left(x_{k}+h,\;y_{k}+h\,f\left(x_{k},y_{k}\right)\right)}{2}.
\n
Informações relevantes e pontos a usar:\n
  • Para a questão 4 temos a função integranda f(x)=x^{2}, intervalo [0,1/2], número de subintervalos n=2 (pois pedem dois subintervalos) e passo h=(1/2-0)/2=1/4.\n
  • Para a questão 5 temos uma EDO na forma y'=f(x,y). Usaremos a forma integral da solução entre x_{k} e x_{k+1}=x_{k}+h:
y(x_{k+1})=y(x_{k})+\int_{x_{k}}^{x_{k+1}} f(x,y(x))\,dx,
e aproximaremos essa integral de maneira adequada para obter o método pedido.\n
Não inicio a resolução ainda; apenas organizei o que é pedido e os dados que temos.

Passo 2

Explicando a regra dos trapézios composta (didático):\n
  • Ideia: aproximar a área sob a curva por trapézios sobre cada subintervalo. Se dividimos [a,b] em n subintervalos de comprimento h=(b-a)/n e denotamos x_{j}=a+jh, então a regra dos trapézios composta dá a aproximação
T_{n}=h\left(\tfrac{1}{2}f(x_{0})+f(x_{1})+f(x_{2})+\cdots+f(x_{n-1})+\tfrac{1}{2}f(x_{n})\right).
  • Por que essa fórmula? Em cada subintervalo [x_{j},x_{j+1}] a área aproximada é a área do trapézio com bases f(x_{j}) e f(x_{j+1}) e altura h, que vale \tfrac{h}{2}\big(f(x_{j})+f(x_{j+1})\big). Somando esses trapézios para j=0,\dots,n-1 e agrupando obtém-se a expressão acima (os termos internos aparecem duas vezes e as extremidades aparecem com fator 1/2).\n
  • Observação prática: essa fórmula é simples de aplicar manualmente; é exatamente o que a questão 4 pede (regra dos trapézios repetida com n=2).

Passo 3

Aplicando a regra dos trapézios composta à integral da questão 4:\n
  • Temos a=0, b=1/2, n=2, h=(b-a)/n=1/4.\n
  • Nós definimos os nós:
x_{0}=0,\qquad x_{1}=x_{0}+h=\tfrac{1}{4},\qquad x_{2}=x_{0}+2h=\tfrac{1}{2}.
  • A função é f(x)=x^{2}. Calculamos os valores nos nós:
f(x_{0})=f(0)=0^{2}=0,
f(x_{1})=f\!\left(\tfrac{1}{4}\right)=\left(\tfrac{1}{4}\right)^{2}=\tfrac{1}{16},
f(x_{2})=f\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=\left(\tfrac{1}{2}\right)^{2}=\tfrac{1}{4}.

Passo 4

Calcule a aproximação com a fórmula do trapézio composta:\n
  • Usando
T_{2}=h\left(\tfrac{1}{2}f(x_{0})+f(x_{1})+\tfrac{1}{2}f(x_{2})\right),
substituímos os valores encontrados:
T_{2}=\tfrac{1}{4}\left(\tfrac{1}{2}\cdot 0+\tfrac{1}{16}+\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{1}{4}\right).
  • Calcule passo a passo: \tfrac{1}{2}\cdot 0=0. \tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{1}{4}=\tfrac{1}{8}. Então dentro do parêntese temos \tfrac{1}{16}+\tfrac{1}{8}. Como \tfrac{1}{8}=\tfrac{2}{16}, isso soma \tfrac{3}{16}. Agora multiplicamos por h=\tfrac{1}{4}:
T_{2}=\tfrac{1}{4}\cdot \tfrac{3}{16}=\tfrac{3}{64}.
  • Em forma decimal, \tfrac{3}{64}=0{,}046875.

Passo 5

Comparação rápida com o valor exato (útil para entender erro):\n
  • O valor exato da integral é fácil de calcular com primitiva:
\int_{0}^{1/2} x^{2}\,dx=\left[\tfrac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{1/2}=\tfrac{(1/2)^{3}}{3}=\tfrac{1/8}{3}=\tfrac{1}{24}\approx 0{,}0416667.
  • A aproximação pelo trapézio composta com n=2 deu T_{2}=\tfrac{3}{64}\approx 0{,}046875. O erro é T_{2}-\text{exato}\approx 0{,}0052083. Isso mostra que a aproximação é razoável, mas não perfeita; com mais subintervalos o erro diminuiria.

Passo 6

Iniciando a demonstração do método de Euler aperfeiçoado (intuição e base):\n
  • Consideramos a EDO na forma \displaystyle y'=f(x,y) e um passo de malha h entre x_{k} e x_{k+1}=x_{k}+h.\n
  • A identidade exata que relaciona y nos dois pontos é a fórmula integral:
y(x_{k+1})=y(x_{k})+\int_{x_{k}}^{x_{k+1}} f(x,y(x))\,dx.
  • A ideia do método de Euler aperfeiçoado é aproximar a integral do lado direito de forma mais precisa que o método de Euler explícito. Uma aproximação natural é usar a regra do trapézio para a integral:
\int_{x_{k}}^{x_{k+1}} f(x,y(x))\,dx \approx \tfrac{h}{2}\big(f(x_{k},y(x_{k}))+f(x_{k+1},y(x_{k+1}))\big).
  • Se pudéssemos usar f(x_{k+1},y(x_{k+1})) exato, obteríamos o método implícito do trapézio. Mas y(x_{k+1}) é desconhecido; então precisamos aproximar f no extremo direito por algo que conhecemos.

Passo 7

Preditor explícito de Euler e uso na correção (motivação do “aperfeiçoado”):\n
  • Uma aproximação simples para y(x_{k+1}) é o passo de Euler explícito (preditor):
\tilde{y}_{k+1}=y_{k}+h\,f(x_{k},y_{k}),
onde y_{k} é a aproximação conhecida em x_{k}.\n
  • Usando essa predição para avaliar f em x_{k+1}, substituímos f(x_{k+1},y(x_{k+1})) por f(x_{k+1},\tilde{y}_{k+1}). Assim a integral fica aproximada por
\int_{x_{k}}^{x_{k+1}} f(x,y(x))\,dx \approx \tfrac{h}{2}\big(f(x_{k},y_{k})+f(x_{k+1},\tilde{y}_{k+1})\big).

Passo 8

Obtenção da fórmula final do método (juntando tudo):\n
  • Substituindo a aproximação da integral na identidade exata, obtemos
y_{k+1}\approx y_{k}+\tfrac{h}{2}\big(f(x_{k},y_{k})+f(x_{k+1},\tilde{y}_{k+1})\big).
  • Agora substituímos \tilde{y}_{k+1}=y_{k}+h\,f(x_{k},y_{k}) e escrevemos x_{k+1}=x_{k}+h. Isso fornece
y_{k+1}=y_{k}+h\,\frac{f\left(x_{k},y_{k}\right)+f\big(x_{k}+h,\;y_{k}+h\,f(x_{k},y_{k})\big)}{2},
que é exatamente a fórmula do Euler aperfeiçoado pedida.\n
  • Portanto, mostramos que o método é obtido aplicando a regra do trapézio à integral \int_{x_{k}}^{x_{k+1}} f(x,y(x))\,dx e usando o preditor de Euler explícito para avaliar f no extremo direito.

Passo 9

Comentário didático sobre o método (por que isso “aperfeiçoa” o Euler explícito):\n
  • Intuitivamente: o Euler explícito usa só a inclinação em x_{k} para avançar. Aqui computamos uma inclinação média entre x_{k} e x_{k+1} (a média entre f na esquerda e uma estimativa de f na direita), o que corrige a tendência de erro do Euler simples.\n
  • Ordem do método: o Euler aperfeiçoado (também chamado método do trapézio explícito ou Heun em algumas variações) tem erro global de ordem O(h^{2}) — isto é, é um método de segunda ordem. Uma maneira formal de ver isso é comparar a expansão em série de Taylor de y(x_{k+1}) com a expressão numérica e verificar que o erro por passo (erro de truncamento local) é O(h^{3}), levando a erro global O(h^{2}). (Se quiser, posso mostrar a expansão de Taylor detalhada passo a passo.)

Resposta

\displaystyle T_{2}=\tfrac{3}{64}=0{,}046875\n
y_{k+1}=y_{k}+h\,\frac{f\left(x_{k},y_{k}\right)+f\left(x_{k}+h,\;y_{k}+h\,f\left(x_{k},y_{k}\right)\right)}{2}

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