Considere a matriz
A=[ll 6 & -5 3 & -2 ]
(a) Calcule o determinante de A.
(b) Qual é o posto de A ?
© Obtenha a inversa A^-1.
(d) Obtenha o polinômio característico de A.
(e) Calcule os autovalores de A.
(f) Calcule os autovetores de A.
(g) Obtenha os autovalores de A^-1.
(h) Verifique que o determinante de A é o produto de seus autovalores.
(i) Verifique que o traço de A é igual à soma dos seus autovalores.
(j) Calcule |A|1.
(k) Calcule |A|infty.
(l) Calcule |A|F.
(m) Calcule |A|2.

Passo 1

Beleza, vamos cuidar dessa matriz
A=6 & -5 3 & -2
O que o exercício pede (a)–(m): determinante, posto, inversa, polin. característico, autovalores, autovetores, autovalores de d&-b-c&a, verificar relação det= e traço= , e várias normas (1, ∞, Frobenius e 2).
Para isso a gente vai usar:
  • Propriedades de determinante e posto;
  • Fórmula da inversa ;
  • Polin. característico ;
  • Resolução de sistemas lineares para autovetores;
  • Definições de norma matricial.

Passo 2

(a) Determinante de det A = 6cdot(-2)-(-5)cdot3 = -12 + 15 = 3 :

Passo 3

(b) Posto de :
Como , é inversível e, portanto, .

Passo 4

© Inversa de A^-1=1det Ad & -b -c & a, :
Usando
A^-1=13-2 & 5 -3 & 6
temos

Passo 5

(d) Polinômio característico de p(lambda)=det(A-lambda I) =det6-lambda & -5 3 & -2-lambda =(6-lambda)(-2-lambda)-(-5)cdot3 =lambda^2-4lambda+3 :

Passo 6

(e) Autovalores de lambda=4pmraiz16-122=4pm22 ;Longrightarrow;lambda1=1,;lambda2=3 :
Resolvendo :

Passo 7

(f) Autovetores de (A-I)v=0 ;Longrightarrow; 5 & -53 & -3xy=0 ;Rightarrow;x=y, :
Para (A-3I)v=0 ;Longrightarrow; 3 & -53 & -5xy=0 ;Rightarrow;3x-5y=0;Rightarrow;x=tfrac53y, :
um autovetor é .
Para :
um autovetor é .

Passo 8

(g) Autovalores de :
São os recíprocos de , ou seja
e .

Passo 9

(h) Verificação :
e . OK.

Passo 10

(i) Verificação :
e . OK.

Passo 11

(j) Norma 1 de :
.
Coluna 1: , coluna 2: .

Passo 12

(k) Norma ∞ de :
.
Linha 1: , linha 2: .

Passo 13

(l) Norma de Frobenius de |A|F=raizsumi,jaij^2 =raiz6^2+(-5)^2+3^2+(-2)^2 =raiz36+25+9+4 =raiz74 :

Passo 14

(m) Norma 2 de A^TA=45 & -36 -36 & 29, :
É a raiz do maior autovalor de |A|2=raiz37+2raiz340 .
cujas raízes do polinômio são
.
Logo

Resposta

(a) -2&5-3&6
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(k)
(l)
(m) .

Exercícios relacionados