Considere a matriz
(a) Calcule o determinante de
.
(b) Qual é o posto de
?
© Obtenha a inversa
.
(d) Obtenha o polinômio característico de
.
(e) Calcule os autovalores de
.
(f) Calcule os autovetores de
.
(g) Obtenha os autovalores de
.
(h) Verifique que o determinante de
é o produto de seus autovalores.
(i) Verifique que o traço de
é igual à soma dos seus autovalores.
(j) Calcule
.
(k) Calcule
.
(l) Calcule
.
(m) Calcule
.
(b) Qual é o posto de
© Obtenha a inversa
(d) Obtenha o polinômio característico de
(e) Calcule os autovalores de
(f) Calcule os autovetores de
(g) Obtenha os autovalores de
(h) Verifique que o determinante de
(i) Verifique que o traço de
(j) Calcule
(k) Calcule
(l) Calcule
(m) Calcule
Passo 1
Beleza, vamos cuidar dessa matriz
O que o exercício pede (a)–(m): determinante, posto, inversa, polin. característico, autovalores, autovetores, autovalores de
, verificar relação det=
e traço=
, e várias normas (1, ∞, Frobenius e 2).
Para isso a gente vai usar:
Para isso a gente vai usar:
- Propriedades de determinante e posto;
- Fórmula da inversa
; - Polin. característico
; - Resolução de sistemas lineares
para autovetores; - Definições de norma matricial.
Passo 2
(a) Determinante de
:
Passo 3
(b) Posto de
:
Como ,
é inversível e, portanto,
.
Como
Passo 4
© Inversa de
:
Usando
Usando
temos
Passo 5
(d) Polinômio característico de
:
Passo 6
(e) Autovalores de
:
Resolvendo :
Resolvendo
Passo 7
(f) Autovetores de
:
Para :
Para
um autovetor é
.
Para :
Para
um autovetor é
.
Passo 8
(g) Autovalores de
:
São os recíprocos de , ou seja
e
.
São os recíprocos de
Passo 9
(h) Verificação
:
e
. OK.
Passo 10
(i) Verificação
:
e
. OK.
Passo 11
(j) Norma 1 de
:
.
Coluna 1: , coluna 2:
.
Coluna 1:
Passo 12
(k) Norma ∞ de
:
.
Linha 1: , linha 2:
.
Linha 1:
Passo 13
(l) Norma de Frobenius de
:
Passo 14
(m) Norma 2 de
:
É a raiz do maior autovalor de .
É a raiz do maior autovalor de
cujas raízes do polinômio
são
.
Logo
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Resposta
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(k)
(l)
(m) .
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(k)
(l)
(m)