Seja
.
Obtenha o polinômio de Taylor de segunda ordem ao redor de
e calcule uma aproximação para
.
Obtenha o polinômio de Taylor de segunda ordem ao redor de
Passo 1
Tranquilo! Temos a função
e queremos o polinômio de Taylor de 2ª ordem em torno de (ou seja, até o termo em
) e depois usar esse polinômio pra aproximar
.
Matéria: séries de Taylor/Maclaurin.
O que vamos precisar:
e queremos o polinômio de Taylor de 2ª ordem em torno de
Matéria: séries de Taylor/Maclaurin.
O que vamos precisar:
- A fórmula do polinômio de Taylor de ordem 2 centrado em 0:
- Calcular
, e . - Substituir em
e, por fim, avaliar em .
Passo 2
Teoria: para montar o polinômio de Taylor de ordem 2 em torno de zero (Maclaurin), usamos
Isso vem da expansão em série de Taylor, truncando após o termo de grau 2.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas necessárias:
-
-
pela regra do produto:
-
. - Derivando
dá . - Derivando
dá .
Somando:
- Derivando
Passo 4
Agora avaliamos em
:
Logo o polinômio de 2ª ordem é
Passo 5
Para aproximar
, basta pôr
em
:
Resposta
O polinômio de Taylor de segunda ordem em torno de
é
e a aproximação de
usando esse polinômio é