Seja f(x)=e^x cos (x).
Obtenha o polinômio de Taylor de segunda ordem ao redor de x0=0 e calcule uma aproximação para f(0,45).

Passo 1

Tranquilo! Temos a função
T2(x)=f(0)+f'(0),x+f''(0)2,x^2
e queremos o polinômio de Taylor de 2ª ordem em torno de (ou seja, até o termo em ) e depois usar esse polinômio pra aproximar .
Matéria: séries de Taylor/Maclaurin.
O que vamos precisar:
  1. A fórmula do polinômio de Taylor de ordem 2 centrado em 0:
  1. Calcular , e .
  2. Substituir em e, por fim, avaliar em .

Passo 2

Teoria: para montar o polinômio de Taylor de ordem 2 em torno de zero (Maclaurin), usamos
T2(x)=f(0)+f'(0),x+f''(0)2,x^2
Isso vem da expansão em série de Taylor, truncando após o termo de grau 2.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas necessárias:
  1. f'(x)=ddx(e^x)cos x + e^xddx(cos x) =e^xcos x - e^xsin x =e^xl(cos x - sin xr)
  2. f''(x)=l(e^xcos x - e^xsin xr)+l(-e^xsin x - e^xcos xr) =-2,e^xsin x pela regra do produto:
  1. .
    • Derivando .
    • Derivando .
      Somando:

Passo 4

Agora avaliamos em f(0)=e^0cos0=1cdot1=1, :
f'(0)=e^0l(cos0-sin0r)=1,(1-0)=1,
f''(0)=-2,e^0sin0=-2cdot1cdot0=0
T2(x)=1 + 1cdot x + 02,x^2 = 1 + x
Logo o polinômio de 2ª ordem é

Passo 5

Para aproximar T2(0,45)=1 + 0,45 = 1,45 , basta pôr em :

Resposta

O polinômio de Taylor de segunda ordem em torno de T2(x)=1+x, é
f(0,45)approx 1,45
e a aproximação de usando esse polinômio é

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