Seja .
Ache uma cota superior para o erro cometido no item (a) usando a fórmula do erro de truncamento de Taylor. Mostre que este resultado é compatível com o erro absoluto encontrado no item (b).
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra gente trabalhar com a função
e usar a fórmula do resto (erro de truncamento) da série de Taylor em torno de um ponto (normalmente ) pra achar uma cota superior de erro no item (a). Depois, temos que mostrar que essa cota é maior ou igual (ou “compatível com”) o erro absoluto que rolou no item (b).
Conteúdo: Teorema de Taylor com resto na forma de Lagrange; cálculo de derivadas de ; desigualdade de módulo.
Passo 2
Lembrando o Teorema de Taylor com resto de Lagrange:
Para suficientemente suave em torno de ,
onde
para algum entre e . Nosso objetivo é achar uma cota para
Passo 3
Precisamos achar um l|f^(n+1)(u)r|<= M forall u tal que
f(x)=e^xcos x Longrightarrow f'(x)=e^xcos x - e^xsin x,
no intervalo entre f''(x)=2e^x(-sin x) +e^xcos x,;dots e l|f^(k)(u)r| <= e^ul|cos(cdot)r|+e^ul|sin(cdot)r| <= e^u+e^u=2e^u .
Note que
l|f^(n+1)(u)r|<= 2e^max(a,x)
Na prática, todas as derivadas são combinações de e , logo