Seja f(x)=e^x cos (x).
Ache uma cota superior para o erro cometido no item (a) usando a fórmula do erro de truncamento de Taylor. Mostre que este resultado é compatível com o erro absoluto encontrado no item (b).

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente trabalhar com a função
f(x)=e^xcos x
e usar a fórmula do resto (erro de truncamento) da série de Taylor em torno de um ponto (normalmente ) pra achar uma cota superior de erro no item (a). Depois, temos que mostrar que essa cota é maior ou igual (ou “compatível com”) o erro absoluto que rolou no item (b).
Conteúdo: Teorema de Taylor com resto na forma de Lagrange; cálculo de derivadas de ; desigualdade de módulo.

Passo 2

Lembrando o Teorema de Taylor com resto de Lagrange:
Para f(x)=Pn(x)+Rn(x), suficientemente suave em torno de Pn(x)=sumk=0^nf^(k)(a)k!(x-a)^k e Rn(x)=f^(n+1)(xi)(n+1)!(x-a)^,n+1 ,
onde
para algum entre e . Nosso objetivo é achar uma cota para

Passo 3

Precisamos achar um l|f^(n+1)(u)r|<= M forall u tal que
f(x)=e^xcos x Longrightarrow f'(x)=e^xcos x - e^xsin x,
no intervalo entre f''(x)=2e^x(-sin x) +e^xcos x,;dots e l|f^(k)(u)r| <= e^ul|cos(cdot)r|+e^ul|sin(cdot)r| <= e^u+e^u=2e^u .
Note que
l|f^(n+1)(u)r|<= 2e^max(a,x)
Na prática, todas as derivadas são combinações de e , logo
Se quisermos um bound grosso, podemos usar

Passo 4

Aplicando essa cota no resto de Lagrange:
l|Rn(x)r| =|f^(n+1)(xi)(n+1)!(x-a)^n+1| <= 2e^max(a,x)(n+1)!,l|x-ar|^n+1
Se escolhemos boxedl|Rn(x)r|<= 2e^x(n+1)!,x^,n+1 e , fica mais simples:

Passo 5

No item (b) você calculou o erro absoluto real
Erm abs=l|f(x)-Pn(x)r|
Como é exatamente , a cota

é sempre maior ou igual a esse valor real. Logo, a estimativa de cima é “compatível” com o erro que você mediu em (b).

Resposta

A cota superior para o erro de truncamento é
boxedl|Rn(x)r|<= 2,e^x(n+1)!,x^,n+1,
e esse valor é maior (ou igual) ao erro absoluto efetivamente calculado no item (b), garantindo a compatibilidade.

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