Considere o seguinte sistema linear A x=b,
[rrrr -2 & 3 & 1 & 5 5 & 1 & -1 & 0 1 & 6 & 3 & -1 4 & 5 & 2 & 8 ][l x1 x2 x3 x4 ]=[r 2 -1 0 6 ]
(a) Resolva o sistema pela eliminação de Gauss sem pivotação parcial usando 4 dígitos significativos.
(b) Obtenha o resíduo r da solução obtida no item anterior.
© Calcule o determinante de A.
(d) Resolva o sistema pela eliminação de Gauss com pivotação parcial usando 4 dígitos significativos.
(e) Obtenha o resíduo r da solução obtida no item anterior.
(f) Compare a exatidão dos resultados da solução com e sem o uso da pivotação parcial.

Passo 1

Beleza, vamos resolver um sistema linear 4×4 usando eliminação de Gauss (sem e com pivotação parcial), calcular resíduos e determinante. O conteúdo é Álgebra Linear (Gauss, pivotação, determinante, resíduo). A gente vai precisar:
  • Aplicar eliminação de Gauss e arredondar cada operação a 4 dígitos significativos.
  • Fazer substituição regressiva.
  • Calcular o resíduo .
  • Calcular como produto dos pivôs.

Passo 2

(a) Eliminação de Gauss sem pivotação (4 dígitos significativos)
Partimos de
& -2 & 3 & 1 & 5 5 & 1 & -1 & 0 1 & 6 & 3 & -1 4 & 5 & 2 & 8 !x1x2x3x4 =2-106
  1. Pivot -2 & 3 & 1 & 5 &|& 2 0 & 8.5 & 1.5 & 12.5 &|& 4 0 & 7.5 & 3.5 & 1.5 &|& 1 0 & 11 & 4 & 18 &|&10 .
    • -2 & 3 & 1 & 5 &|&2 0 &8.5&1.5&12.5&|&4 0&0&2.1764&-9.53&|&-2.5296 0&0&2.059&1.825&|&4.824 → linha2 ← linha2 + 2.5×linha1
    • -2 &3&1&5 &|&2 0 &8.5&1.5&12.5&|&4 0 &0&2.1764&-9.53&|&-2.5296 0 &0&0&10.85&|&7.2193 → linha3 ← linha3 + 0.5×linha1
    • x4&=7.2193/10.85=0.6653, x3&=-2.5296-(-9.53),0.66532.1764=1.7520, x2&=4-1.5cdot1.7520-12.5cdot0.66538.5=-0.8170, x1&=2-3(-0.8170)-1.7520-5cdot0.6653-2=0.3138 → linha4 ← linha4 + 2×linha1
      Resultado (arredondado):
      .
  2. Pivot .
    • → L3←L3−0.8824 L2
    • → L4←L4−1.294 L2
  3. Pivot .
    • → L4←L4−0.9465 L3
  4. Substituição regressiva:

Passo 3

(b) Resíduo r=r1r2r3r4 approx 0.0000 0.0000 0.0025 0.0034 sem pivotação:

Passo 4

© Determinante de det(A)=(-2)times8.5times2.1764times10.85approx -401.5 (produto dos pivôs obtidos sem pivot):

Passo 5

(d) Eliminação de Gauss com pivotação parcial (4 dígitos):
  1. Coluna 1: maior em módulo é 5 (linha2), trocamos L1↔L2 e eliminamos.
  2. Coluna 2: maior é 5.8 (nova L2↔L3), eliminamos.
  3. Coluna 3: pivot −1.276 (sem troca), eliminamos.
    Depois substituição:
x4&=0.6659, x3&=1.7540, x2&=-0.8184, x1&=0.3145

Passo 6

(e) Resíduo rapprox 0.0007 -0.0001 0.0002 -0.0010 com pivotação:

Passo 7

(f) Comparação de exatidão
  • Sem pivotação: resíduos até .
  • Com pivotação: resíduos até , ligeiramente menores.
    Logo, a pivotação parcial melhorou a precisão.

Resposta

Solução sem pivotação:
xapprox(0.3138,,-0.8170,,1.7520,,0.6653)^T, rapprox(0,0,0.0025,0.0034)^T,det(A)approx -401.5
Solução com pivotação:
xapprox(0.3145,,-0.8184,,1.7540,,0.6659)^T, rapprox(7times10^-4,-10^-4,2times10^-4,-10^-3)^T
A pivotação parcial deu resíduos menores, ou seja, solução mais exata.

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