Considere o seguinte sistema linear
,
(a) Resolva o sistema pela eliminação de Gauss sem pivotação parcial usando 4 dígitos significativos.
(b) Obtenha o resíduo
r da solução obtida no item anterior.
© Calcule o determinante de
A .
(d) Resolva o sistema pela eliminação de Gauss com pivotação parcial usando 4 dígitos significativos.
(e) Obtenha o resíduo
r da solução obtida no item anterior.
(f) Compare a exatidão dos resultados da solução com e sem o uso da pivotação parcial.
(b) Obtenha o resíduo
© Calcule o determinante de
(d) Resolva o sistema pela eliminação de Gauss com pivotação parcial usando 4 dígitos significativos.
(e) Obtenha o resíduo
(f) Compare a exatidão dos resultados da solução com e sem o uso da pivotação parcial.
Passo 1
Beleza, vamos resolver um sistema linear 4×4 usando eliminação de Gauss (sem e com pivotação parcial), calcular resíduos e determinante. O conteúdo é Álgebra Linear (Gauss, pivotação, determinante, resíduo). A gente vai precisar:
- Aplicar eliminação de Gauss e arredondar cada operação a 4 dígitos significativos.
- Fazer substituição regressiva.
- Calcular o resíduo
. - Calcular
como produto dos pivôs.
Passo 2
(a) Eliminação de Gauss sem pivotação (4 dígitos significativos)
Partimos de
Partimos de
- Pivot
.-2 & 3 & 1 & 5 &|& 2 0 & 8.5 & 1.5 & 12.5 &|& 4 0 & 7.5 & 3.5 & 1.5 &|& 1 0 & 11 & 4 & 18 &|&10 -
→ linha2 ← linha2 + 2.5×linha1-2 & 3 & 1 & 5 &|&2 0 &8.5&1.5&12.5&|&4 0&0&2.1764&-9.53&|&-2.5296 0&0&2.059&1.825&|&4.824 -
→ linha3 ← linha3 + 0.5×linha1-2 &3&1&5 &|&2 0 &8.5&1.5&12.5&|&4 0 &0&2.1764&-9.53&|&-2.5296 0 &0&0&10.85&|&7.2193 -
→ linha4 ← linha4 + 2×linha1x4&=7.2193/10.85=0.6653, x3&=-2.5296-(-9.53),0.66532.1764=1.7520, x2&=4-1.5cdot1.7520-12.5cdot0.66538.5=-0.8170, x1&=2-3(-0.8170)-1.7520-5cdot0.6653-2=0.3138
Resultado (arredondado):
.
-
- Pivot
.-
→ L3←L3−0.8824 L2 -
→ L4←L4−1.294 L2
-
- Pivot
.-
→ L4←L4−0.9465 L3
-
- Substituição regressiva:
Passo 3
(b) Resíduo
r=r1r2r3r4 approx 0.0000 0.0000 0.0025 0.0034 sem pivotação:
Passo 4
© Determinante de
det(A)=(-2)times8.5times2.1764times10.85approx -401.5 (produto dos pivôs obtidos sem pivot):
Passo 5
(d) Eliminação de Gauss com pivotação parcial (4 dígitos):
- Coluna 1: maior em módulo é 5 (linha2), trocamos L1↔L2 e eliminamos.
- Coluna 2: maior é 5.8 (nova L2↔L3), eliminamos.
- Coluna 3: pivot −1.276 (sem troca), eliminamos.
Depois substituição:
Passo 6
(e) Resíduo
rapprox 0.0007 -0.0001 0.0002 -0.0010 com pivotação:
Passo 7
(f) Comparação de exatidão
- Sem pivotação: resíduos até
– . - Com pivotação: resíduos até
– , ligeiramente menores.
Logo, a pivotação parcial melhorou a precisão.
Resposta
Solução sem pivotação:
Solução com pivotação:
A pivotação parcial deu resíduos menores, ou seja, solução mais exata.