Considere a matriz
Determine a decomposição
L U da matriz
A , utilizando pivotamento parcial. Explique cada passo.
Determine a decomposição
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede a decomposição LU com pivotamento parcial da matriz
Isso faz parte de eliminação de Gauss e fatoração de matrizes. Para resolver, vamos precisar:
- Fazer pivotamento parcial (ver quem é o maior pivô em cada coluna),
- Registrar as operações de linha num
(triangular inferior) e o resultado final num (triangular superior), - Guardar eventuais trocas de linha numa matriz
(permutações).
Passo 2
Primeiro pivô (coluna 1): olhamos os valores
. O maior em módulo é
(já está na linha 1), então não trocamos linhas.
-
permanece como identidade até agora. - Nosso pivô
.
Passo 3
Fazer eliminação na coluna 1:
- Multiplicador para zerar
:m21 = 23 m31 = 03 = 0 - Multiplicador para zerar
:L = 1 & 0 & 0 tfrac23 & 1 & 0 0 & 0 & 1 [2,8,4] - tfrac23[3,2,1] = l[0,;8-tfrac43,;4-tfrac23r] = l[0,;tfrac203,;tfrac103r]
Anotamos em
U^(1) = 3 & 2 & 1 0 & tfrac203 & tfrac103 0 & 4 & 5 :
E atualizamos as linhas 2 e 3 de
:
- Linha 2 ← Linha 2 −
·Linha 1: - Linha 3 (não muda, pois
): .
Então, a matriz atual vira
Passo 4
Agora pivotamos na coluna 2 (linhas 2 e 3): comparamos
e
. O maior é
(já está na linha 2), não trocamos.
Passo 5
Eliminação na coluna 2 (linha 3):
- Multiplicador
m32 = 420/3 = 4cdot320 = 1220 = 35
Colocamos em
L = 1 & 0 & 0 tfrac23 & 1 & 0 0 & tfrac35 & 1 :
Atualizamos linha 3:
Então a
final é
Resposta
Como não houve troca de linhas,
P,A = L,U, P = 1&0&00&1&00&0&1, ; L = 1 & 0 & 0 tfrac23 & 1 & 0 0 & tfrac35 & 1 , ; U = 3 & 2 & 1 0 & tfrac203 & tfrac103 0 & 0 & 3 . A fatoração fica: