Considere a matriz A=[lll3 & 2 & 1 2 & 8 & 4 0 & 4 & 5]
Determine a decomposição L U da matriz A, utilizando pivotamento parcial. Explique cada passo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede a decomposição LU com pivotamento parcial da matriz
A = 3 & 2 & 1 2 & 8 & 4 0 & 4 & 5
Isso faz parte de eliminação de Gauss e fatoração de matrizes. Para resolver, vamos precisar:
  • Fazer pivotamento parcial (ver quem é o maior pivô em cada coluna),
  • Registrar as operações de linha num (triangular inferior) e o resultado final num (triangular superior),
  • Guardar eventuais trocas de linha numa matriz (permutações).

Passo 2

Primeiro pivô (coluna 1): olhamos os valores . O maior em módulo é (já está na linha 1), então não trocamos linhas.
  • permanece como identidade até agora.
  • Nosso pivô .

Passo 3

Fazer eliminação na coluna 1:
  • Multiplicador para zerar m21 = 23 : m31 = 03 = 0
  • Multiplicador para zerar L = 1 & 0 & 0 tfrac23 & 1 & 0 0 & 0 & 1 : [2,8,4] - tfrac23[3,2,1] = l[0,;8-tfrac43,;4-tfrac23r] = l[0,;tfrac203,;tfrac103r]
Anotamos em U^(1) = 3 & 2 & 1 0 & tfrac203 & tfrac103 0 & 4 & 5 :
E atualizamos as linhas 2 e 3 de :
  • Linha 2 ← Linha 2 − ·Linha 1:
  • Linha 3 (não muda, pois ): .
Então, a matriz atual vira

Passo 4

Agora pivotamos na coluna 2 (linhas 2 e 3): comparamos e . O maior é (já está na linha 2), não trocamos.

Passo 5

Eliminação na coluna 2 (linha 3):
  • Multiplicador m32 = 420/3 = 4cdot320 = 1220 = 35
Colocamos em L = 1 & 0 & 0 tfrac23 & 1 & 0 0 & tfrac35 & 1 :
[0,4,5] - tfrac35[0,tfrac203,tfrac103] = l[0,;0,;5 - tfrac35cdottfrac103r] = [0,0,,5 - 2] = [0,0,3]
Atualizamos linha 3:
U = 3 & 2 & 1 0 & tfrac203 & tfrac103 0 & 0 & 3
Então a final é

Resposta

Como não houve troca de linhas, P,A = L,U, P = 1&0&00&1&00&0&1, ; L = 1 & 0 & 0 tfrac23 & 1 & 0 0 & tfrac35 & 1 , ; U = 3 & 2 & 1 0 & tfrac203 & tfrac103 0 & 0 & 3 . A fatoração fica:

Exercícios relacionados