Considere o seguinte sistema linear:
c x1+x2=4, 3 x1+x2=10
Que pode-se dizer da convergência do método no sistema linear?

Passo 1

Beleza, vamos falar de um sistema de duas equações:
x1+x2=4, 3x1+x2=10
O conteúdo aqui é métodos iterativos para resolver sistemas lineares, especificamente o método de Jacobi e seu critério de convergência.Para resolver, a gente vai precisar:
  1. Montar a matriz dos coeficientes .
  2. Verificar se é diagonalmente dominante (um critério rápido).
  3. Se isso falhar, calcular a matriz de iteração do Jacobi e achar o raio espectral .

Passo 2

Teoria rápida:
  • Se a matriz |aii| > sumjneq i|aij| é estritamente diagonalmente dominante por linhas, o Jacobi converge garantido.
  • Uma matriz A = 1 & 1[6pt]3 & 1 é estritamente diagonalmente dominante se, para cada linha ,
No nosso caso
Linha 1: e . Aqui .
Linha 2: e . Aqui .
Ou seja, não há dominância diagonal estrita. Então não podemos garantir a convergência só por esse critério.

Passo 3

Teoria extra: para o Jacobi, definimos a divisão x^(k+1) = -D^-1(L+U),x^(k) + D^-1b, , onde
  • BJ = -D^-1(L+U) é a diagonal de D = 1&00&1, L+U = 0&13&0, ,
  • BJ = -,D^-1(L+U) = -0&13&0 = 0&-1-3&0 a parte estritamente abaixo da diagonal,
  • det(BJ - lambda I) = det-lambda & -1-3 & -lambda = lambda^2 - 3 = 0 ;;Longrightarrow;; lambda = pmraiz3 a parte estritamente acima.
    Depois, a iteração é
rho(BJ) = max|raiz3|,|-raiz3| = raiz3 approx 1,732 > 1
e a matriz de iteração é
No nosso caso,
logo
Para ver se converge, calculamos o raio espectral , que é o maior valor absoluto dos autovalores de .
Os autovalores satisfazem
Então

Passo 4

Conclusão direta: se , o método de Jacobi diverge. Então, para esse sistema, o Jacobi não converge.

Resposta

O método de Jacobi divergirá nesse sistema linear (não há convergência).

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