Considere o seguinte sistema linear:
Que pode-se dizer da convergência do método no sistema linear?
Passo 1
Beleza, vamos falar de um sistema de duas equações:
O conteúdo aqui é métodos iterativos para resolver sistemas lineares, especificamente o método de Jacobi e seu critério de convergência.Para resolver, a gente vai precisar:
- Montar a matriz dos coeficientes
. - Verificar se
é diagonalmente dominante (um critério rápido). - Se isso falhar, calcular a matriz de iteração do Jacobi
e achar o raio espectral .
Passo 2
Teoria rápida:
- Se a matriz
é estritamente diagonalmente dominante por linhas, o Jacobi converge garantido. - Uma matriz
é estritamente diagonalmente dominante se, para cada linha ,
No nosso caso
Linha 1:
e
. Aqui
.
Linha 2: e
. Aqui
.
Ou seja, não há dominância diagonal estrita. Então não podemos garantir a convergência só por esse critério.
Linha 2:
Ou seja, não há dominância diagonal estrita. Então não podemos garantir a convergência só por esse critério.
Passo 3
Teoria extra: para o Jacobi, definimos a divisão
, onde
-
é a diagonal de , -
a parte estritamente abaixo da diagonal, -
a parte estritamente acima.
Depois, a iteração é
e a matriz de iteração é
No nosso caso,
logo
Para ver se converge, calculamos o raio espectral
, que é o maior valor absoluto dos autovalores de
.
Os autovalores satisfazem
Os autovalores
Então
Passo 4
Conclusão direta: se
, o método de Jacobi diverge. Então, para esse sistema, o Jacobi não converge.
Resposta
O método de Jacobi divergirá nesse sistema linear (não há convergência).