Considere a matriz A=[lll3 & 2 & 1 2 & 8 & 4 0 & 4 & 5]
Resolva, se possível, o sistema linear A x=b, com b=[l0 1 1], utilizando a fatoração L U
com estratégia de pivotamento parcial. com estratégia de pivotamento parcial.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra resolver o sistema
A x = b, A = 3 & 2 & 12 & 8 & 40 & 4 & 5,; b = 011
usando fatoração LU com pivotamento parcial.
Conteúdo: eliminação de Gauss, fatoração LU e resolução de sistemas por substituições.
O que vamos precisar:
  • Escolher pivô maior em módulo em cada coluna (pivotamento parcial).
  • Calcular multiplicadores e montar e .
  • Resolver por substituição pra frente.
  • Resolver por substituição pra trás.

Passo 2

Pivotamento parcial e eliminação na coluna 1:
  • Procuramos o maior l21 = a21a11 = 23, l31 = a31a11 = 0 nas linhas 1–3. Temos U^(1) = 3 & 2 & 1 0 & tfrac203 & tfrac103 0 & 4 & 5 , o maior é 3, que já está em . Não trocamos linhas.
  • Calculamos os multiplicadores da primeira coluna:
  • Eliminamos:
    linha 2 linha 2 linha 1,
    linha 3 linha 3 linha 1.
    Isso gera a matriz

Passo 3

Pivotamento parcial e eliminação na coluna 2 (submatriz de linhas 2–3):
  • Comparamos l32 = a32^(1)a22^(1) = 420/3 = 3cdot420 = 35 e U = 3 & 2 & 1 0 & tfrac203 & tfrac103 0 & 0 & 3 , L = 1 & 0 & 0 tfrac23 & 1 & 0 0 & tfrac35 & 1 , o maior é , sem troca de linhas.
  • Multiplicador:
  • Eliminamos:
    linha 3 linha 3 linha 2,
    obtendo

Passo 4

Resolvendo y1 = b1 = 0, y2 - tfrac23y1 = 1 ;Rightarrow; y2 = 1, y3 - tfrac35y2 = 1 ;Rightarrow; y3 = 1 + tfrac35 = tfrac85 (substituição pra frente):

Passo 5

Resolvendo 3x3 = y3 = tfrac85 ;Rightarrow; x3 = tfrac815, tfrac203x2 + tfrac103x3 = y2 =1 ;Rightarrow; 20x2 + 10!l(tfrac815r) = 3 ;Rightarrow; x2 = -tfrac760, 3x1 + 2x2 + x3 = y1 =0 ;Rightarrow; 3x1 + 2!l(-tfrac760r) + tfrac815 =0 ;Rightarrow; x1 = -tfrac110 (substituição pra trás):

Resposta

x = -tfrac110 -tfrac760 tfrac815

Exercícios relacionados