Considere as matrizes: A=(cc1 & 2 3 & -4),
B & =(cc 5 & 0 -6 & 7 ), C & =(ccc 1 & -3 & 4 2 & 6 & -5 ), D & =(ll 1 & 2 3 & 4 ) e E & =(cc 5 & 4 6 & 11 )
Determine 5 A-2 B e 2 A+3 B.
Determine A^2 e A C. Verifique se as matrizes D e E comutam, isto é D E=E D .

Passo 1

Beleza, aqui o que a questão pede é:
  • Calcular duas combinações lineares de A e B: 5A - 2B e 2A + 3B.
  • Calcular o quadrado da matriz A, isto é A^2, e o produto A,C.
  • Verificar se D e E comutam, isto é, se DE = ED.
O conteúdo é Álgebra Linear básico: soma e subtração de matrizes, multiplicação por escalar, multiplicação de matrizes e comutatividade.
Para isso, vamos usar:
  1. (c A)_ij = c·(A_ij) e (A±B)_ij = A_ij ± B_ij;
  2. (AB)_ij = Σ_k A_{ik} B_{kj}.

Passo 2

Calcular 5A - 2B.
Primeiro 5A:
5A = 5 1 & 2 3 & -4 = 5cdot1 & 5cdot2 5cdot3 & 5cdot(-4) = 5 & 10 15 & -20
Depois 2B:
2B = 2 5 & 0 -6 & 7 = 10 & 0 -12 & 14
Agora subtraímos entrada a entrada:
5A - 2B = 5-10 & 10-0 15-(-12) & -20-14 = -5 & 10 27 & -34

Passo 3

Calcular 2A + 3B.
Primeiro 2A:
2A = 2 1 & 2 3 & -4 = 2 & 4 6 & -8
Depois 3B:
3B = 3 5 & 0 -6 & 7 = 15 & 0 -18 & 21
Somando:
2A + 3B = 2+15 & 4+0 6+(-18) & -8+21 = 17 & 4 -12 & 13

Passo 4

Calcular A^2 = Acdot A.
Usando (AB)ij = sumk AikBkj, temos
A^2 = 1 & 2 3 & -4 1 & 2 3 & -4 = 1cdot1 + 2cdot3 & 1cdot2 + 2cdot(-4) 3cdot1 + (-4)cdot3 & 3cdot2 + (-4)cdot(-4) = 7 & -6 -9 & 22

Passo 5

Calcular A,C, sendo A 2times2 e C 2times3.
A,C = 1 & 2 3 & -4 1 & -3 & 4 2 & 6 & -5 = 1cdot1 + 2cdot2 & 1cdot(-3) + 2cdot6 & 1cdot4 + 2cdot(-5) 3cdot1 + (-4)cdot2 & 3cdot(-3) + (-4)cdot6 & 3cdot4 + (-4)cdot(-5) = 5 & 9 & -6 -5 & -33 & 32

Passo 6

Verificar se D e E comutam, isto é DE = ED.
Calculemos
DE = 1 & 2 3 & 4 5 & 4 6 & 11 = 1cdot5 + 2cdot6 & 1cdot4 + 2cdot11 3cdot5 + 4cdot6 & 3cdot4 + 4cdot11 = 17 & 26 39 & 56,
ED = 5 & 4 6 & 11 1 & 2 3 & 4 = 5cdot1 + 4cdot3 & 5cdot2 + 4cdot4 6cdot1 + 11cdot3 & 6cdot2 + 11cdot4 = 17 & 26 39 & 56
Como DE = ED, elas comutam.

Resposta

5A − 2B = -5 & 10 27 & -34
2A + 3B = 17 & 4 -12 & 13
A^2 = 7 & -6 -9 & 22
A,C = 5 & 9 & -6 -5 & -33 & 32
DE = ED = 17 & 26 39 & 56, logo D e E comutam.

Exercícios relacionados