Use o método de Newton-Raphson para obter a menor raiz positiva das seguintes equações a seguir, com precisão epsilon=10^-4 :
2 x^5-3 x^3+5 x^2+7=0

Passo 1

Beleza, o problema pede pra gente usar o método de Newton–Raphson e encontrar a menor raiz POSITIVA de
xn+1 = xn - f(xn)f'(xn)
com precisão .
Isso envolve:
  • Saber a definição da função e sua derivada .
  • Entender o método iterativo de Newton:
  • Checar se existe mesmo uma raiz positiva antes de sair iterando.

Passo 2

Vamos primeiro ver se existe raiz positiva. Note que:
f(0)=2cdot0^5-3cdot0^3+5cdot0^2+7=7>0
Agora, para f'(x)=ddx(2x^5-3x^3+5x^2+7) =10x^4-9x^2+10x = x,(10x^3-9x+10) , calculemos a derivada:
10x^3-9x+10>0Longrightarrow f'(x)=x(10x^3-9x+10)>0
Repare que, para todo , tem-se
Ou seja, é crescente em . Como e só cresce, nunca vai descer até zero.

Passo 3

Conclusão: não existe ponto tal que . Ou seja, não há raiz positiva para essa equação, então o método de Newton–Raphson não encontra nada nesse domínio.

Resposta

Não existe raiz positiva para .

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