Considere que o Método da Bissecção é finalizado quando |bk-ak|, em que [ak, bk] é o intervalo que contém a raiz de f na iteração k. Dado um valor para epsilon>0, determine o número de iterações (k) para que |bk-ak|. Sugestão: faça um tabela indicando para cada iteração k=1, cdot, n, qual o tamanho do atual intervalo.

Passo 1

Beleza, o enunciado tá pedindo quantas iterações do Método da Bissecção a gente precisa fazer pra que o tamanho do intervalo |bk - ak| < varepsilon seja menor que , ou seja
Isso é tema de Métodos Numéricos (Bissecção) e pra resolver vamos usar duas ideias principais:
  1. A cada iteração o intervalo é “cortado ao meio”, ou seja .
  2. Resolver uma inequação envolvendo potência de 2, usando logaritmo.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever direitinho como o tamanho do intervalo evolui:
  • No começo (iteração L0 = b0 - a0) o intervalo tem comprimento Lk = bk - ak = L02^k = b0 - a02^k
  • Depois de cortes pela metade, o comprimento é
Se quiser, monta uma tabelinha pra ver:
k = 0 →
k = 1 →
k = 2 →

k = n →

Passo 3

Agora, a condição de parada é b0 - a02^k < varepsilon. Substituindo:
2^k > b0 - a0varepsilon
Multiplica os dois lados por k > log2!l(tfracb0 - a0varepsilonr) e divide por :
Pra “quebrar” o , aplica log base 2 em ambos os lados:

Passo 4

Como k = lceil log2!l(tfracb0 - a0varepsilonr) rceil é número de iterações e tem que ser inteiro, a gente pega o menor inteiro que satisfaça essa desigualdade, ou seja a função teto (ceil):

Resposta

boxed k ;=;llceil log2!l(tfracb0 - a0varepsilonr)rrceil

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