A equação de estado de Van der Waals permite descrever de forma mais satisfatória o comportamento termodinâmico de muitos gases, não só a altas temperaturas e baixas pressões, mas num domínio mais extenso de temperaturas e pressões, nomeadamente quando o gás está próximo da condensação. Esta equação relaciona o volume, pressão e temperatura de um certo gás da seguinte forma:
em que
é a pressão,
é a temperatura e
é o volume molar (
,
é uma constante cujo valor depende do gás
é o volume ocupado por um mol das moléculas. Considerando-se o gás carbônico
, utilize o Método de Newton para determinar o seu volume molar para as condições de pressão igual a 10atm e temperatura igual a 300 K ,
e
. Use como precisão
.
Passo 1
Beleza, olha só o que o exercício pede: a gente tem a equação de estado de Van der Waals
para CO₂, com
- p = 10 atm
- T = 300 K
- R = 0,082054 L·atm/(mol·K)
- a = 3,592 L²·atm/mol²
- b = 0,04267 L/mol
E querem que a gente ache o volume molar
Conteúdo: termodinâmica (Van der Waals) + cálculo numérico (Método de Newton). Vamos precisar montar a função
Passo 2
Explicando o Método de Newton: se a gente quer resolver
montamos a iteração
Aqui a nossa função é
e, usando regra do produto e derivada de
$$f’(v)
=\frac{d}{dv}\Bigl(p+\tfrac{a}{v^2}\Bigr),(v-b)
+\Bigl(p+\tfrac{a}{v^2}\Bigr),\frac{d}{dv}(v-b)$$
Passo 3
Vamos precisar também do valor de
:
Pra chute inicial, a gente usa o volume molar ideal:
Passo 4
Primeira iteração (
):
- Calcula
:
- Calcula
:
- Novo valor:
Passo 5
Segunda iteração (
):
1)
1)
Passo 6
Terceira iteração (
):
1)
1)
A diferença
já está quase no limite, e uma iteração extra já deixa
.
Resposta
O volume molar de CO₂, obtido por Newton até precisão
, é