A equação de estado de Van der Waals permite descrever de forma mais satisfatória o comportamento termodinâmico de muitos gases, não só a altas temperaturas e baixas pressões, mas num domínio mais extenso de temperaturas e pressões, nomeadamente quando o gás está próximo da condensação. Esta equação relaciona o volume, pressão e temperatura de um certo gás da seguinte forma:
(p+av^2) cdot(v-b)=R cdot T
em que p é a pressão, T é a temperatura e v é o volume molar ( l / m o l), a é uma constante cujo valor depende do gás b é o volume ocupado por um mol das moléculas. Considerando-se o gás carbônico (C 02), utilize o Método de Newton para determinar o seu volume molar para as condições de pressão igual a 10atm e temperatura igual a 300 K , R=0,082054, a=3,592 e b=0,04267. Use como precisão 10^-6.

Passo 1

Beleza, olha só o que o exercício pede: a gente tem a equação de estado de Van der Waals
l(p+av^2r),(v-b)=R,T
para CO₂, com
- p = 10 atm
- T = 300 K
- R = 0,082054 L·atm/(mol·K)
- a = 3,592 L²·atm/mol²
- b = 0,04267 L/mol
E querem que a gente ache o volume molar usando o Método de Newton com precisão .
Conteúdo: termodinâmica (Van der Waals) + cálculo numérico (Método de Newton). Vamos precisar montar a função , sua derivada, escolher um chute e iterar até a tolerância.

Passo 2

Explicando o Método de Newton: se a gente quer resolver
f(v)=0
montamos a iteração
vn+1=vn - f(vn)f'(vn),
Aqui a nossa função é
f(v)=l(p+av^2r)(v-b)-R,T
e, usando regra do produto e derivada de f'(v) =ddvl(p+tfracav^2r),(v-b) +l(p+tfracav^2r),ddv(v-b),
$$f’(v)
=\frac{d}{dv}\Bigl(p+\tfrac{a}{v^2}\Bigr),(v-b)
+\Bigl(p+\tfrac{a}{v^2}\Bigr),\frac{d}{dv}(v-b)$$
f'(v)=-2,av^3,(v-b)+l(p+av^2r),

Passo 3

Vamos precisar também do valor de R,T=0,082054times300=24,6162(L·atm/mol):
v0=R,Tp=24,616210approx2,46162;L/mol
Pra chute inicial, a gente usa o volume molar ideal:

Passo 4

Primeira iteração ( f(v0) =l(10+tfrac3,5922,46162^2r),(2,46162-0,04267)-24,6162 approx1,0077 ):
  1. Calcula f'(v0) =-2,3,5922,46162^3,(2,46162-0,04267) + l(10+tfrac3,5922,46162^2r) approx9,427 :
v1 =2,46162 - 1,00779,427 approx2,35469;L/mol
  1. Calcula :
  1. Novo valor:

Passo 5

Segunda iteração ( f(v1) =l(10+tfrac3,5922,35469^2r),(2,35469-0,04267)-24,6162 approx0,0020 ):
1)
f'(v1) =-2,3,5922,35469^3,(2,35469-0,04267) +l(10+tfrac3,5922,35469^2r) approx9,376
v2 =2,35469 - 0,00209,376 approx2,35448;L/mol

Passo 6

Terceira iteração ( f(v2)approx -1times10^-4, f'(v2)approx9,377 ):
1)
v3 =2,35448 - -1times10^-49,377 approx2,35449;L/mol
A diferença já está quase no limite, e uma iteração extra já deixa .

Resposta

O volume molar de CO₂, obtido por Newton até precisão boxedv approx 2,35449;L/mol , é

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