Sabe-se que a função f(x)=x-3-x^-x tem uma raiz no intervalo [1,5]. Use o Método da Bissecção e encontre o valor da raiz.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a gente tem a função
f(x)=x-3 - x^-x
e que existe uma raiz no intervalo . Vamos usar o Método da Bissecção pra encontrá-la. Isso envolve:
1. Teorema do Valor Intermediário (se e têm sinais opostos, tem raiz em ).
2. Calcular ponto médio , ver o sinal de e escolher o subintervalo certo.
3. Repetir até a precisão desejada.

Passo 2

Definimos
a=1, b=5, f(x)=x-3 - x^-x
Calculamos os valores iniciais:
f(1)=1-3-1^-1=-3, f(5)=5-3-5^-5=2-tfrac13125approx1.99968
Como e , pelo Teorema do Valor Intermediário existe raiz em .

Passo 3

Iteração 1:
m1=1+52=3, f(3)=3-3-3^-3=-tfrac127approx-0.03704<0
Sinal de é negativo, então a raiz está em .

Passo 4

Iteração 2:
m2=3+52=4, f(4)=4-3-4^-4=1-tfrac1256approx0.99609>0
Agora , entra o subintervalo .

Passo 5

Iteração 3:
m3=3+42=3.5, f(3.5)=3.5-3-3.5^-3.5approx0.5-0.01246=0.48754>0
Raiz em .

Passo 6

Iteração 4:
m4=3+3.52=3.25, f(3.25)approx0.25-0.02170=0.22830>0
Raiz em .

Passo 7

Iteração 5:
m5=3+3.252=3.125, f(3.125)approx0.125-0.02839=0.09661>0
Raiz em .

Passo 8

Iteração 6:
m6=3+3.1252=3.0625, f(3.0625)approx0.0625-0.03242=0.03008>0
Raiz em .

Passo 9

Iteração 7:
m7=3+3.06252=3.03125, f(3.03125)approx0.03125-0.03464=-0.00339<0
Raiz em .

Passo 10

Iteração 8:
m8=3.03125+3.06252=3.046875, f(3.046875)approx0.04688-0.03356=0.01332>0
Raiz em .

Passo 11

Iteração 9:
m9=3.03125+3.0468752=3.0390625, f(3.0390625)approx0.03906-0.03410=0.00497>0
Raiz em .

Passo 12

Iteração 10 (parada):
m10=3.03125+3.03906252=3.03515625, f(3.03515625)approx0.03516-0.03440=0.00076
O tamanho do intervalo agora é e , já tá bom pra 3 casas decimais.

Resposta

A raiz aproximada é
xapprox3.0352

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