Considere o Método de Guade:
yn+4-819 yn+3+819 yn+2-yn=6 h16(fn+4+4 fn+3+4 fn+1+fn)
(a) Determine sua ordem e a constante do erro;
(b) Verifique se este método pode ser aplicado para resolver um PVI com garantia de convergência.

Passo 1

Beleza, então o que temos aqui é um método de diferenças finitas de passo múltiplo (o “Método de Guade”), dado por
yn+4-819yn+3+819yn+2-yn ;=;6h16l(fn+4+4fn+3+4fn+1+fnr)
O que a gente precisa fazer:
  1. descobrir a ordem do método (isto é, até que potência de o erro local some) e achar a constante principal do erro local;
  2. ver se dá pra aplicar esse método em problemas de valor inicial com garantia de convergência (isto é, consistência + estabilidade zero).

Passo 2

Primeiro definimos os coeficientes padrão de um LMM:
sumj=0^4alphaj,yn+j=hsumj=0^4betaj,fn+j
Comparando:
alpha0=-1,; alpha1=0,; alpha2=tfrac819,; alpha3=-tfrac819,; alpha4=1,
beta0=616=tfrac38,; beta1=4cdot616=tfrac32,; beta2=0,; beta3=tfrac32,; beta4=tfrac38

Passo 3

Para ver a ordem sum j,alphaj =0cdot(-1)+1cdot0+2cdottfrac819+3cdotl(-tfrac819r)+4cdot1 =4-tfrac819 =tfrac76-819=tfrac6819approx3.5789, a gente checa as condições de consistência:
  1. sumbetaj =tfrac38+tfrac32+0+tfrac32+tfrac38 =3.75 (ok: taun =l[yn+4-tfrac819yn+3+tfrac819yn+2-yn -tfrac6h16(y'n+4+4y'n+3+4y'n+1+y'n)r] = -1376,y'(tn),h +O(h^2) );
  2. C=-1376 .
    Calculando
Como , já ferrou a condição de ordem 1. Logo a ordem .
Para achar a constante do erro local , fazemos a expansão em Taylor até o termo em :
Aí a constante principal do erro (no termo de ordem ) é

Passo 4

Convergência de um LMM exige duas coisas: consistência (aqui já falhou a segunda condição) e estabilidade zero (root condition). Como o método é inconsistente, ele não converge em geral, então não dá pra usar com garantia num PVI.

Resposta

Ordem , constante de erro , e o método não é convergente (logo não pode ser aplicado com garantia).

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