A solução analítica desse sistema de EDOs é dada por
x(t)=e^t^22[cos (t)-sen(t)2] e y(t)=-e^t^22[-sen(t)-cos (t)2]
Obtenha uma aproximação para solução desse sistema em t=1.2 considerando 3 passos ( n p=3 ) via Método de Runge-Kutta de 3^ a Ordem. Calcule o erro em cada passo até chegar no ponto final. Trabalhe com 6 casas decimais.
Passo 1
Resumo rápido do enunciado: a gente tem o sistema
x'=x,t - y, y'=x + y,t, x(0)=1, y(0)=0.5
e a solução exata
xrm ex(t)=e^t^2/2l(cos t - tfrac12sin tr), yrm ex(t)=-e^t^2/2l(-sin t - tfrac12cos tr)
Queremos aproximar k1&=f(tn,yn), k2&=fl(tn+tfrac h2,;yn+tfrac h2,k1r), k3&=fl(tn+h,;yn-h,k1+2h,k2r), yn+1&=yn+tfrac h6,(k1+4k2+k3) em usando o Método de Runge–Kutta de 3ª ordem com passos.
– Conteúdo: métodos numéricos de EDO, esquema explícito de RK3.
– O que vamos precisar:
Definir o passo .
Aplicar, para cada componente , o ciclo
Comparar com a solução exata para medir o erro em cada passo.
A partir do próximo passo começamos a resolução mesmo.
Passo 2
Primeiro passo: de f1(t,x,y)=x,t - y, f2(t,x,y)=x + y,t a k1x=f1(0,1,0.5)=1cdot0-0.5=-0.5, k1y=f2(0,1,0.5)=1+0.5cdot0=1 .
Dados iniciais: k2x=0.9cdot0.2-0.7=-0.52, k2y=0.9+0.7cdot0.2=1.04 , k3x=0.784cdot0.4-0.932=-0.6184, k3y=0.784+0.932cdot0.4=1.1568 , x1&=1+tfrac0.46l(-0.5+4(-0.52)+(-0.6184)r)approx0.786773, y1&=0.5+tfrac0.46l(1+4(1.04)+1.1568r)approx0.921120 .
Definimos
Segundo passo: de k1x=0.786773cdot0.4-0.921120=-0.606411, k1y=0.786773+0.921120cdot0.4=1.155221 a k2x=0.665491cdot0.6-1.152164=-0.752870, k2y=0.665491+1.152164cdot0.6=1.356790 , com k3x=0.427042cdot0.8-1.544463=-1.202830, k3y=0.427042+1.544463cdot0.8=1.662613 .
exapprox6.4times10^-5, eyapprox2.79times10^-3 em :
em :
Atualização:
Erro em :
Passo 4
Terceiro passo: de k1x=0.465392cdot0.8-1.470786=-1.098473, k1y=0.465392+1.470786cdot0.8=1.642021 a k2x=0.245698cdot1.0-1.799190=-1.553493, k2y=0.245698+1.799190cdot1.0=2.044888 , com k3x=-0.338013cdot1.2-2.449888=-2.855504, k3y=-0.338013+2.449888cdot1.2=2.601853 .