Considere o seguinte sistema de EDOs:
l x^prime=x t-y y^prime=x+y t x(0)=1 y(0)=0.5
A solução analítica desse sistema de EDOs é dada por
x(t)=e^t^22[cos (t)-sen(t)2] e y(t)=-e^t^22[-sen(t)-cos (t)2]
Obtenha uma aproximação para solução desse sistema em t=1.2 considerando 3 passos ( n p=3 ) via Método de Runge-Kutta de 3^ a Ordem. Calcule o erro em cada passo até chegar no ponto final. Trabalhe com 6 casas decimais.

Passo 1

Resumo rápido do enunciado: a gente tem o sistema
x'=x,t - y, y'=x + y,t, x(0)=1, y(0)=0.5
e a solução exata
xrm ex(t)=e^t^2/2l(cos t - tfrac12sin tr), yrm ex(t)=-e^t^2/2l(-sin t - tfrac12cos tr)
Queremos aproximar k1&=f(tn,yn), k2&=fl(tn+tfrac h2,;yn+tfrac h2,k1r), k3&=fl(tn+h,;yn-h,k1+2h,k2r), yn+1&=yn+tfrac h6,(k1+4k2+k3) em usando o Método de Runge–Kutta de 3ª ordem com passos.
– Conteúdo: métodos numéricos de EDO, esquema explícito de RK3.
– O que vamos precisar:
  1. Definir o passo .
  2. Aplicar, para cada componente , o ciclo
  3. Comparar com a solução exata para medir o erro em cada passo.
A partir do próximo passo começamos a resolução mesmo.

Passo 2

Primeiro passo: de f1(t,x,y)=x,t - y, f2(t,x,y)=x + y,t a k1x=f1(0,1,0.5)=1cdot0-0.5=-0.5, k1y=f2(0,1,0.5)=1+0.5cdot0=1 .
Dados iniciais: k2x=0.9cdot0.2-0.7=-0.52, k2y=0.9+0.7cdot0.2=1.04 , k3x=0.784cdot0.4-0.932=-0.6184, k3y=0.784+0.932cdot0.4=1.1568 , x1&=1+tfrac0.46l(-0.5+4(-0.52)+(-0.6184)r)approx0.786773, y1&=0.5+tfrac0.46l(1+4(1.04)+1.1568r)approx0.921120 .
Definimos
xrm ex(0.4)approx0.786862, yrm ex(0.4)approx0.921350,
  1. Calcular ex=|0.786773-0.786862|approx8.91times10^-5, ey=|0.921120-0.921350|approx2.30times10^-4 :
  1. Calcular em :
  1. Calcular em :
  1. Atualizar
  1. Erro em :

Passo 3

Segundo passo: de k1x=0.786773cdot0.4-0.921120=-0.606411, k1y=0.786773+0.921120cdot0.4=1.155221 a k2x=0.665491cdot0.6-1.152164=-0.752870, k2y=0.665491+1.152164cdot0.6=1.356790 , com k3x=0.427042cdot0.8-1.544463=-1.202830, k3y=0.427042+1.544463cdot0.8=1.662613 .
  1. x2&=0.786773+tfrac0.46l(-0.606411+4(-0.752870)+(-1.202830)r)approx0.465392, y2&=0.921120+tfrac0.46l(1.155221+4(1.356790)+1.662613r)approx1.470786 :
xrm ex(0.8)approx0.465328, yrm ex(0.8)approx1.467999,
  1. exapprox6.4times10^-5, eyapprox2.79times10^-3 em :
  1. em :
  1. Atualização:
  1. Erro em :

Passo 4

Terceiro passo: de k1x=0.465392cdot0.8-1.470786=-1.098473, k1y=0.465392+1.470786cdot0.8=1.642021 a k2x=0.245698cdot1.0-1.799190=-1.553493, k2y=0.245698+1.799190cdot1.0=2.044888 , com k3x=-0.338013cdot1.2-2.449888=-2.855504, k3y=-0.338013+2.449888cdot1.2=2.601853 .
  1. x3&=0.465392+tfrac0.46l(-1.098473+4(-1.553493)+(-2.855504)r)approx-0.212471, y3&=1.470786+tfrac0.46l(1.642021+4(2.044888)+2.601853r)approx2.299015 :
xrm ex(1.2)approx-0.212993, yrm ex(1.2)approx2.286868,
  1. exapprox5.22times10^-4, eyapprox1.21times10^-2 em :
  1. em :
  1. Atualização:
  1. Erro em :

Resposta

Aproximação em boxedx(1.2)approx-0.212471, y(1.2)approx2.299015 (3 passos de RK3, 6 casas decimais):
l|cc t & ex & eyhline 0.4 & 8.91times10^-5 & 2.30times10^-4 0.8 & 6.42times10^-5 & 2.79times10^-3 1.2 & 5.22times10^-4 & 1.21times10^-2
Erros acumulados em cada passo ( ):

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