Converta o sistema de EDOs
l d^2 xd t^2=-gammam d xd t raiz(d xd t)^2+(d yd t)^2 d^2 yd t^2=-g-gammam d yd t raiz(d xd t)^2+(d yd t)^2
em um sistema de EDOs de primeira ordem. Nesse sistema, gamma, m e g são constantes positivas diferentes de zero.

Passo 1

Beleza, então o que a gente tem aqui é um sistema de EDOs de segunda ordem que descreve o movimento de um objeto com resistência do ar (força de arrasto). O que vamos fazer é reduzir esse sistema de segunda ordem para um sistema equivalente de primeira ordem, introduzindo variáveis que representem as velocidades.
Conteúdo envolvido: teoria de sistemas de EDOs e mudança de variáveis (ou “redução de ordem”).
O que precisamos: saber que, se x'' aparece, a gente pode chamar vx = x' e reescrever tudo em termos de vx e vx'. Idem para y.

Passo 2

Vamos definir as variáveis novas:
vx = dxdt, vy = dydt
Com isso, já temos duas equações de primeira ordem:
dxdt = vx, dydt = vy

Passo 3

Agora a gente olha para a segunda derivada de x, que é x'' = d^2xdt^2. No enunciado ela vale
x'' = -gammam,dxdt,raizl(tfracdxdtr)^2 + l(tfracdydtr)^2
Substituindo tfracdxdt=vx e tfracdydt=vy, a equação vira
dvxdt = -gammam,vx,raizvx^2 + vy^2

Passo 4

Mesma ideia para y''=d^2ydt^2, que é dada por
y'' = -g ;-;gammam,dydt,raizl(tfracdxdtr)^2 + l(tfracdydtr)^2
Trocando pelas nossas variáveis, fica
dvydt = -,g ;-;gammam,vy,raizvx^2 + vy^2

Resposta

O sistema de primeira ordem equivalente é:
dxdt = vx,[6pt] dydt = vy,[6pt] dvxdt = -gammam,vx,raizvx^2 + vy^2,[6pt] dvydt = -g ;-;gammam,vy,raizvx^2 + vy^2

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