Considere o MLPM
(a) Qual deve ser o valor de
para esse MLPM tenha a maior ordem possível ? Justique sua resposta.
(b) Para que valores de
esse MLPM é estável? Justifique sua resposta.
(b) Para que valores de
Passo 1
Beleza, bora resumir o que temos e o que a questão pede.
Temos um método multistep linear:
Temos um método multistep linear:
Conteúdo: ordem do método (usando condições de consistência) e estabilidade zero (condição das raízes).
O que vamos precisar:
O que vamos precisar:
- Condições de ordem para LMMs – são igualdades que vêm da expansão de Taylor de
. - Condição de estabilidade: todas as raízes do polinômio característico
devem ter e raízes unitárias devem ser simples.
Passo 2
Encontrar o valor de
que dá a maior ordem possível.
- Identificamos os coeficientes do lado homogêneo
:
a_2=1,\quad a_1=(b-1),\quad a_0=-b.
E do lado forçado:
- Condições de consistência (ordem ≥1 e ≥2) são sempre satisfeitas:
- ordem ≥1:
dá . - ordem ≥2:
dá de cada lado.
Logo, já tem ordem ≥2 para todo.
- ordem ≥1:
- Para ordem ≥3 entra a condição
.
Lado esquerdo:
Lado direito:
Igualando: - Não dá para levar além (a próxima condição falha).
Então a ORDEM MÁXIMA é 3, e isso só rola se.
Passo 3
Para que
o método é zero-estável?
- Polinômio característico:
.
Queremos as raízessatisfazendo . - Resolve:
Dá sempre duas raízes reais:
e . - Condição de estabilidade zero (“root condition”):
- toda raiz deve ter
, - se
então a raiz é simples.
Aquié simples (salvo caso especial que veremos).
A outra é, então exigimos , i.e.\ .
- toda raiz deve ter
- Atenção: se
, então e fica raiz dupla em 1 → não é estável.
Logo a região de estabilidade é
Resposta
(a) Para obter a maior ordem (que é 3), é necessário
.
(b) O método é zero-estável se e somente se .
(b) O método é zero-estável se e somente se