Considere o MLPM
yn+2+(b-1) yn+1-b yn=h4[(b+3) fn+1+(3 b+1) fn]
(a) Qual deve ser o valor de b para esse MLPM tenha a maior ordem possível ? Justique sua resposta.
(b) Para que valores de b esse MLPM é estável? Justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, bora resumir o que temos e o que a questão pede.
Temos um método multistep linear:
yn+2+(b-1),yn+1-b,yn ;=;h4l[(b+3),fn+1+(3b+1),fnr]
Conteúdo: ordem do método (usando condições de consistência) e estabilidade zero (condição das raízes).
O que vamos precisar:
  1. Condições de ordem para LMMs – são igualdades que vêm da expansão de Taylor de .
  2. Condição de estabilidade: todas as raízes do polinômio característico devem ter e raízes unitárias devem ser simples.

Passo 2

Encontrar o valor de b+3=b+32 ;Longrightarrow; 2(b+3)=b+3 ;Longrightarrow; b=-3 que dá a maior ordem possível.
  1. Identificamos os coeficientes do lado homogêneo :
    a_2=1,\quad a_1=(b-1),\quad a_0=-b.
    E do lado forçado :
  2. Condições de consistência (ordem ≥1 e ≥2) são sempre satisfeitas:
    • ordem ≥1: .
    • ordem ≥2: de cada lado.
      Logo, já tem ordem ≥2 para todo .
  3. Para ordem ≥3 entra a condição
    .
    Lado esquerdo:
    Lado direito:
    Igualando:
  4. Não dá para levar além (a próxima condição falha).
    Então a ORDEM MÁXIMA é 3, e isso só rola se .

Passo 3

Para que zeta =-(b-1)pmraiz(b-1)^2+4b2 =-(b-1)pm|b+1|2 o método é zero-estável?
  1. Polinômio característico:
    |b|<=1 com exclusão de b=-1 ;Longrightarrow; -1.
    Queremos as raízes satisfazendo .
  2. Resolve: Dá sempre duas raízes reais:
    e .
  3. Condição de estabilidade zero (“root condition”):
    • toda raiz deve ter ,
    • se então a raiz é simples.
      Aqui é simples (salvo caso especial que veremos).
      A outra é , então exigimos , i.e.\ .
  4. Atenção: se , então e fica raiz dupla em 1 → não é estável.
    Logo a região de estabilidade é
ã

Resposta

(a) Para obter a maior ordem (que é 3), é necessário .
(b) O método é zero-estável se e somente se .

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