Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função.
f(x, y)=integraly^x cos (t)^2 d t

Passo 1

Beleza, o problema tá pedindo as derivadas parciais de primeira ordem da função
f(x,y)=integraly^xcos^2(t),dt
Matéria: Teorema Fundamental do Cálculo e derivadas parciais.
O que vamos usar:
  • Teorema Fundamental do Cálculo, que diz que
    .
  • E o fato de que, se o limite inferior é variável, aparece um sinal “–” na derivada.

Passo 2

Queremos f(x,y)=integraly^xcos^2(t),dt , mantendo partialpartial x!l(integraly^xcos^2(t),dtr) = cos^2(x) fixo.
Como é constante,
é exatamente um caso .
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo:

Passo 3

Agora partialpartial y!l(integraly^xcos^2(t),dtr) = -,cos^2(y) , mantendo fixo.
Aqui é o limite inferior da integral. Se a gente aumentar , a área positiva some, então a derivada ganha um sinal negativo:
Isso vem da regra de diferenciação de limites inferiores.

Resposta

boxed partial fpartial x(x,y)=cos^2(x) e partial fpartial y(x,y)=-cos^2(y)

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