Considere o sistema linear A x=b, onde A é uma matriz n times n, x e b vetores colunas n times 1. Verifique calculando os menores principais de A se esta matriz admite uma decomposição LU. No caso de resposta afirmativa, encontre a solução do sistema A x=b a partir da decomposição LU sabendo que
b=[l 1 2 3 ] para os itens (i) a (v) e b=[l 1 2 3 4 ] para o item (vi)
A=[lll1 & 0 & 1 2 & 1 & 0 3 & 0 & 1]

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão é sobre o sistema linear
A x = b,
onde
A = 1 & 0 & 1 2 & 1 & 0 3 & 0 & 1 , b=123
O conteúdo é “decomposição LU” e “resolução de sistemas triangulares”. Para resolver, precisamos:
  • Verificar se dá pra fazer LU sem precisar trocar linhas (checando os menores principais de ).
  • Se der, achar e .
  • Resolver (substituição pra frente) e depois (substituição pra trás).

Passo 2

Primeiro, checar os menores principais (determinantes dos blocos 1&02&1 no topo à esquerda).
  1. det(A) =1cdot(1cdot1-0cdot0)-0cdot(2cdot1-0cdot3) +1cdot(2cdot0-1cdot3) =1 - 3 = -2 neq 0 .
  2. . Calculemos:
Como todos os , existe decomposição sem pivotamento.

Passo 3

Vamos montar L = 1 & 0 & 0 2 & 1 & 0 3 & 0 & 1 , U = 1 & 0 & 1 0 & 1 & -2 0 & 0 & -2 (com 1’s na diagonal) e . No método de Doolittle:
  • U₁₁ = a₁₁ = 1,
    U₁₂ = a₁₂ = 0,
    U₁₃ = a₁₃ = 1.
  • L₂₁ = a₂₁/U₁₁ = 2/1 = 2,
    L₃₁ = a₃₁/U₁₁ = 3/1 = 3.
  • U₂₂ = a₂₂ – L₂₁·U₁₂ = 1 – 2·0 = 1,
    U₂₃ = a₂₃ – L₂₁·U₁₃ = 0 – 2·1 = –2.
  • L₃₂ = (a₃₂ – L₃₁·U₁₂)/U₂₂ = (0 – 3·0)/1 = 0.
  • U₃₃ = a₃₃ – L₃₁·U₁₃ – L₃₂·U₂₃ = 1 – 3·1 – 0·(–2) = –2.
Logo,

Passo 4

Resolver y = 100 (substituição pra frente):

  1. Então

Passo 5

Resolver (substituição pra trás):
  1. Da última linha:
  2. Da segunda linha:
  3. Da primeira linha:

Resposta

x = 100

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