Use o método de eliminação de Gauss para resolver os sistemas lineares abaixo.
a) x1-x2+3 x3 & =2 3 x1-3 x2+x3 & =-1 x1+x2 & =3

Passo 1

Beleza, aqui a ideia é resolver um sistema de 3 equações lineares com 3 incógnitas usando o método de eliminação de Gauss. O que a gente vai precisar:
  • Montar a matriz aumentada do sistema;
  • Usar operações elementares de linha (trocar linhas, multiplicar linha por escalar, somar múltiplos de uma linha em outra) para deixar a matriz em forma triangular superior;
  • Por fim, fazer a “back‐substitution” (substituição reversa) pra achar .

Passo 2

Primeiro, escrevemos a matriz aumentada x1-x2+3 x3 =2, 3 x1-3 x2+x3=-1, x1+x2=3 longrightarrow [ccc|c 1 & -1 & 3 & 2 3 & -3 & 1 & -1 1 & 1 & 0 & 3 ] do sistema
Agora a ideia é zerar os elementos abaixo de (o pivô da primeira coluna).

Passo 3

Vamos anular as entradas 3 e 1 na coluna 1, usando operações nas linhas:
  1. [ccc|c 1 & -1 & 3 & 2 0 & 0 & -8 & -7 0 & 2 & -3 & 1 ]
Fazendo as contas:
  • Na linha 2:
  • Na linha 3:
A matriz vira

Passo 4

Repare que na segunda linha ficou 0 na coluna 2, mas embaixo (linha 3) temos 2. Para ter pivô na coluna 2, trocamos L_2 com L_3:
L2 rightarrow L3 longrightarrow [ccc|c 1 & -1 & 3 & 2 0 & 2 & -3 & 1 0 & 0 & -8 & -7 ]
Agora a matriz está em forma triangular superior (todos os zeros abaixo dos pivôs).

Passo 5

Fazemos a substituição reversa (back-substitution):
  1. Da terceira linha:
  2. Da segunda linha:

  3. Da primeira linha:

    Como e ,

Resposta

boxedx1 = tfrac1916, x2 = tfrac2916, x3 = tfrac78

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