Considere o método de passo múltiplo
Considere o método explícito de 2 passos:
xn+2+4 xn+1-5 xn=h(b0 fn+b1 fn+1)
(a) Mostre que existe uma escolha para b0 e b1 que torna a ordem do método igual a 3.
(b) Calcule a constante do erro.
(c) Se usarmos esse método de ordem 3 para resolver o problema de valor inicial
l dotx=x x(0)=1 , t in[0,1] com h=0.1
fazendo os cálculos com 6 casas decimais, o resultado final é negativo. Explique por que o erro fica tão grande?

Passo 1

O enunciado nos dá um método de passo múltiplo explícito de dois passos
xn+2 + 4,xn+1 - 5,xn ;=; hl(b0,fn + b1,fn+1r)
que queremos ajustar para ter ordem de convergência igual a 3. Vamos usar expansão de Taylor da solução exata x(t) em torno de t=n h para impor as condições de ordem e depois verificar o termo dominante do erro local e a estabilidade do método.

Passo 2

Expandindo
Para ordem precisamos anular os coeficientes de , e :
Das duas últimas vem .

Passo 3

Com b0=2 e b1=4, o termo dominante do truncamento local é o de ordem h^4:
taun = l(tfrac56-tfrac46r)h^4,x^(4)(t) + O(h^5) = tfrac16,h^4,x^(4)(t) + O(h^5)
Logo a constante do erro local de ordem 4 é 1/6. Como a ordem do método é 3, o erro global é O(h^3) com constante proporcional a 1/6.

Passo 4

Para entender por que o método dá resultados absurdos (até negativos) ao aplicar em dot x = x com h = 0.1, analisamos a estabilidade. A parte homogênea é
xn+2 + 4 xn+1 - 5 xn = 0,
com polinômio característico
r^2 + 4 r - 5 = 0 Longrightarrow r1 = 1, ; r2 = -5
Como lvert r2 rvert = 5 > 1, o método não é zero-estável e pequenas perturbações (ou erros de arredondamento) explodem em cada passo, causando um resultado final totalmente incorreto (até negativo), apesar da alta ordem local.

Resposta

b0 =2, b1 =4
constante do erro local = tfrac16
o método é instável ( lvert r2rvert=5>1), então o erro cresce exponencialmente e leva a resultado absurdo.

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