Considere o método de passo múltiplo
Considere o método explícito de 2 passos:
(a) Mostre que existe uma escolha para e que torna a ordem do método igual a 3.
(b) Calcule a constante do erro.
(c) Se usarmos esse método de ordem 3 para resolver o problema de valor inicial
fazendo os cálculos com 6 casas decimais, o resultado final é negativo. Explique por que o erro fica tão grande?
Passo 1
O enunciado nos dá um método de passo múltiplo explícito de dois passos
que queremos ajustar para ter ordem de convergência igual a . Vamos usar expansão de Taylor da solução exata em torno de para impor as condições de ordem e depois verificar o termo dominante do erro local e a estabilidade do método.
Passo 2
Expandindo
Para ordem precisamos anular os coeficientes de , e :
Das duas últimas vem .
Passo 3
Com b0=2 e b1=4, o termo dominante do truncamento local é o de ordem h^4:
taun = l(tfrac56-tfrac46r)h^4,x^(4)(t) + O(h^5) = tfrac16,h^4,x^(4)(t) + O(h^5)
Logo a constante do erro local de ordem 4 é 1/6. Como a ordem do método é 3, o erro global é O(h^3) com constante proporcional a 1/6.
Passo 4
Para entender por que o método dá resultados absurdos (até negativos) ao aplicar em dot x = x com h = 0.1, analisamos a estabilidade. A parte homogênea é
Como lvert r2 rvert = 5 > 1, o método não é zero-estável e pequenas perturbações (ou erros de arredondamento) explodem em cada passo, causando um resultado final totalmente incorreto (até negativo), apesar da alta ordem local.
Resposta
b0 =2, b1 =4
constante do erro local = tfrac16
o método é instável (lvert r2rvert=5>1), então o erro cresce exponencialmente e leva a resultado absurdo.