Resolva aproximadamente o problema de valor inicial
l y^prime=y+x^3 / 2 y(0)=1, x in[0,0.2], h=0.1
escolhendo q adequadamente tal que seja possível a aplicação do método de Taylor de ordem q

Passo 1

O enunciado é um problema de valor inicial
y'=y + x^3/2, y(0)=1,
em xin[0,0,2] com passo h=0,1.
O método pedido é o método de Taylor de ordem q. Para aplicá-lo precisamos que as derivadas y',y'',dots,y^(q) existam e sejam finitas em x=0. Nosso objetivo neste passo é definir qual é o maior q que atende a essa condição.

Passo 2

Vamos calcular as primeiras derivadas de y em função de x e y:
y' = y + x^3/2
Diferenciando em relação a x (usando a equação para substituir y') obtemos
y'' = ddx(y + x^3/2) = y' + tfrac32x^1/2 = l(y + x^3/2r) + tfrac32x^1/2
Diferenciando de novo, temos
y''' = y'' + tfrac34x^-1/2
e já aparece o termo x^-1/2, que diverge em x=0. Logo, as derivadas a partir de y''' não são finitas em x=0. Concluímos que o maior q possível é
q=2

Passo 3

O método de Taylor de ordem 2 vem dado por
yn+1 ;=; yn ;+; h,f(xn,yn);+;h^22,y''(xn,yn),
onde f(x,y)=y+x^3/2 e y''=y + x^3/2 + tfrac32x^1/2.
No ponto inicial x0=0, y0=1:
f(x0,y0)=1+0=1, y''(x0,y0)=1+0+0=1
Logo
y1 = 1 + 0,1cdot1 + tfrac(0,1)^22cdot1 = 1 + 0,1 + 0,005 = 1,105

Passo 4

No segundo nó, x1=0,1, y1=1,105. Calculamos:
f(x1,y1)=y1 + x1^3/2 = 1,105 + (0,1)^3/2 = 1,105 + 0,1raiz0,1 approx 1,13662,
y''(x1,y1)=y1 + x1^3/2 + tfrac32x1^1/2 approx 1,13662 + 1,5cdot0,31623 approx 1,13662 + 0,47434 = 1,61096
Aplicando o passo de Taylor:
y2 = y1 + 0,1cdot1,13662 + tfrac(0,1)^22cdot1,61096 approx 1,105 + 0,113662 + 0,008055 = 1,22672

Resposta

q=2
y(0,1)approx1,105
y(0,2)approx1,22672

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