Considere o método de passo múltiplo
(a) Mostre que se
, então o método tem ordem 2
(b) Mostre que se
, então a ordem é 3, porém o método deixa de ser estável.
(b) Mostre que se
Passo 1
O enunciado dá o método de passo múltiplo
e pede que mostremos que
- se
, a ordem do método é 2; - se
, a ordem passa a ser 3, mas o método deixa de ser estável.
Para isso vamos definir o erro de truncamento local
impondo
na fórmula, expandir em série de Taylor até ordem suficiente e ver quando os termos até
se anulam. Em seguida analisaremos a estabilidade via polinômio característico.
Passo 2
Definimos o erro de truncamento local
onde
e
. Vamos expandir todas as quantidades em torno de
por Taylor até termos os termos em
e
.
Passo 3
Expansões em Taylor (até
) centradas em
:
Multiplicando e somando no LHS obtemos, até
:
Como
, o termo em
some. Logo
Passo 4
Agora a RHS:
Usando
temos, até
:
Note que
e
. Portanto
Passo 5
Subtraindo RHS de LHS para obter
:
os termos em e
cancelam, restando
os termos em
Logo
- se
, então e a ordem do método é ; - se
, o coeficiente de some e sobra , ou seja, ordem .
Passo 6
Para
, o polinômio característico é
Como a raiz
tem multiplicidade 2 sobre o círculo unitário, o método não satisfaz a condição de estabilidade zero-estável.
Resposta
(a) Se
, a ordem do método é
.
(b) Se , a ordem sobe para
, mas o método deixa de ser estável.
(b) Se