Considere o método de passo múltiplo
xn+2+(b-1) xn+1-b xn=h4[(1-b) fn+2+(4 b+4) fn+1+(b-1) fn]
(a) Mostre que se b neq-1, então o método tem ordem 2
(b) Mostre que se b=-1, então a ordem é 3, porém o método deixa de ser estável.

Passo 1

O enunciado dá o método de passo múltiplo
xn+2 + (b-1),xn+1 - b,xn ;=;h4l[(1-b),fn+2 + (4b+4),fn+1 + (b-1),fnr]
e pede que mostremos que
  • se bneq -1, a ordem do método é 2;
  • se b=-1, a ordem passa a ser 3, mas o método deixa de ser estável.
Para isso vamos definir o erro de truncamento local taun+2 impondo xk=y(tk) na fórmula, expandir em série de Taylor até ordem suficiente e ver quando os termos até h^p se anulam. Em seguida analisaremos a estabilidade via polinômio característico.

Passo 2

Definimos o erro de truncamento local
taun+2 = yn+2 + (b-1),yn+1 - b,yn ;-;h4l[(1-b),y'n+2 + (4b+4),y'n+1 + (b-1),y'nr],
onde yk=y(tn+k h) e y'k=y'(tn+k h). Vamos expandir todas as quantidades em torno de tn por Taylor até termos os termos em h^3 e h^4.

Passo 3

Expansões em Taylor (até O(h^5)) centradas em tn:
yn+1&=yn + h,y'n + tfrach^22y''n + tfrach^36y'''n + tfrach^424y''''n + O(h^5), yn+2&=yn + 2h,y'n + 2h^2,y''n + tfrac4h^33y'''n + tfrac2h^43y''''n + O(h^5)
Multiplicando e somando no LHS obtemos, até O(h^4):
yn+2+(b-1)yn+1-b,yn &=l[1+(b-1)-br]yn &+l[2h+(b-1)hr]y'n &+l[2h^2+tfracb-12h^2r]y''n &+l[tfrac43h^3 + tfracb-16h^3r]y'''n +;O(h^4)
Como 1+(b-1)-b=0, o termo em yn some. Logo
LHS =(b+1),h,y'n + tfracb+32,h^2,y''n + tfracb+76,h^3,y'''n + O(h^4)

Passo 4

Agora a RHS:
h4l[(1-b)y'n+2 + (4b+4)y'n+1 + (b-1)y'nr]
Usando
y'n+1=y'n + h,y''n + tfrach^22y'''n + tfrach^36y''''n+O(h^4), y'n+2=y'n +2h,y''n +2h^2,y'''n + tfrac4h^33y''''n+O(h^4),
temos, até O(h^4):
RHS &=h4l[ (1-b)l(y'n+2h,y''n+2h^2y'''nr) +(4b+4)l(y'n+h,y''n+tfrach^22y'''nr) +(b-1)y'n r] &=h4l[(1-b+4b+4+b-1),y'n + (2(1-b)+(4b+4)),h,y''n &;+l(2(1-b)+tfrac4b+42r)h^2,y'''nr]+O(h^4)
Note que 1-b+4b+4+b-1=4b+4 e 2(1-b)+(4b+4)=2-2b+4b+4=2b+6. Portanto
RHS=(b+1),h,y'n + tfrac2b+64h^2,y''n + h^3,y'''n + O(h^4)

Passo 5

Subtraindo RHS de LHS para obter taun+2:
os termos em y'n e y''n cancelam, restando
taun+2 =l(tfracb+76-1r)h^3,y'''n + O(h^4) =b+16,h^3,y'''(tn)+O(h^4)
Logo
  • se bneq -1, então taun+2=O(h^3) e a ordem do método é 2;
  • se b=-1, o coeficiente de h^3 some e sobra taun+2=O(h^4), ou seja, ordem 3.

Passo 6

Para b=-1, o polinômio característico é
rho(r)=r^2+(b-1)r -b = r^2-2r+1=(r-1)^2
Como a raiz r=1 tem multiplicidade 2 sobre o círculo unitário, o método não satisfaz a condição de estabilidade zero-estável.

Resposta

(a) Se bneq -1, a ordem do método é 2.
(b) Se b=-1, a ordem sobe para 3, mas o método deixa de ser estável.

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