Resolva o seguinte sistema de EDOs
l dotx=x+y doty=2 x+3 y x(0)=2, y(0)=0 , t in[0,0.3] com h=0.1
usando:
(a) O método de Euler

Passo 1

O enunciado pede a solução aproximada do sistema de EDOs
dotx=x+y, doty=2x+3y,
com condições iniciais x(0)=2, y(0)=0 no intervalo tin[0,0,3] usando o método de Euler com passo h=0,1. O conteúdo é métodos numéricos para EDOs de valor inicial e vamos aplicar a fórmula recursiva do método de Euler em sistemas.

Passo 2

No método de Euler para um sistema de duas equações definimos, para n=0,1,2,
xn+1=xn + h,fx(xn,yn), yn+1=yn + h,fy(xn,yn),
onde fx(x,y)=x+y e fy(x,y)=2x+3y. Os instantes são tn = n,h, com t0=0 e t3=0,3.

Passo 3

No primeiro passo, de t0=0 para t1=0,1, temos x0=2, y0=0. Calculamos
fx(x0,y0)=2+0=2, fy(x0,y0)=2cdot2+3cdot0=4
Assim,
x1 = 2 + 0,1cdot2 = 2,2, y1 = 0 + 0,1cdot4 = 0,4

Passo 4

No segundo passo, de t1=0,1 para t2=0,2, usamos x1=2,2, y1=0,4. Então
fx(x1,y1)=2,2+0,4=2,6, fy(x1,y1)=2cdot2,2+3cdot0,4=5,6
Logo,
x2 = 2,2 + 0,1cdot2,6 = 2,46, y2 = 0,4 + 0,1cdot5,6 = 0,96

Passo 5

No terceiro passo, de t2=0,2 para t3=0,3, com x2=2,46, y2=0,96, calculamos
fx(x2,y2)=2,46+0,96=3,42, fy(x2,y2)=2cdot2,46+3cdot0,96=7,8
Assim,
x3 = 2,46 + 0,1cdot3,42 = 2,802, y3 = 0,96 + 0,1cdot7,8 = 1,74

Resposta

As aproximações pelo método de Euler com h=0,1 são
(t0,x0,y0)=(0,2,0), (t1,x1,y1)=(0,1,2,2,0,4), (t2,x2,y2)=(0,2,2,46,0,96), (t3,x3,y3)=(0,3,2,802,1,74)

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