Considere o seguinte problema de valor inicial
l y^prime=2 x^3-2 x y y(0)=1, x in[0,0.3], h=0.15
Resolva-o:
(a) pelo método de Euler
(b) pelo método de Taylor de ordem 2

Passo 1

O enunciado apresenta o PVI
y' = 2x^3 - 2xy, y(0) = 1,
no intervalo [0,0.3] com passo h=0.15. Vamos aproximar a solução em x=0.15 e x=0.3 usando (a) método de Euler e (b) método de Taylor de ordem 2.

Passo 2

Para o método de Euler, usamos a fórmula
yn+1 = yn + h,f(xn,yn)
Começando em (x0,y0)=(0,1):
f(0,1) = 2cdot0^3 - 2cdot0cdot1 = 0,
logo
y1 = 1 + 0.15cdot0 = 1
Em seguida, em (x1,y1)=(0.15,1):
f(0.15,1) = 2cdot0.15^3 - 2cdot0.15cdot1 = 0.00675 - 0.3 = -0.29325,
y2 = y1 + 0.15cdot(-0.29325) = 1 - 0.0439875 = 0.9560125

Passo 3

Para o método de Taylor de ordem 2, usamos a expansão
yn+1 = yn + h,fn + h^22,f'n,
onde
f'n = partial fpartial x(xn,yn) ;+;partial fpartial y(xn,yn),f(xn,yn)

Passo 4

Calculamos as derivadas de f(x,y)=2x^3 - 2xy:
partial fpartial x = 6x^2 - 2y, partial fpartial y = -2x
Portanto
f'(x,y) = 6x^2 - 2y ;-;2x,(2x^3 - 2x y) = -4x^4 +6x^2 +4x^2y -2y

Passo 5

Em (x0,y0)=(0,1) temos
f0 = f(0,1) = 0, f'0 = -4cdot0^4 +6cdot0^2 +4cdot0^2cdot1 -2cdot1 = -2
Logo
y1 = 1 + 0.15cdot0 + 0.15^22(-2) = 1 - 0.0225 = 0.9775

Passo 6

Em (x1,y1)=(0.15,0.9775) calculamos
f1 = 2cdot0.15^3 -2cdot0.15cdot0.9775 = -0.2865,
f'1 = -4cdot0.15^4 +6cdot0.15^2 +4cdot0.15^2cdot0.9775 -2cdot0.9775 = -1.73405
Então
y2 = 0.9775 + 0.15cdot(-0.2865) + 0.15^22(-1.73405) approx 0.91504

Resposta

(a) Método de Euler:
y(0.15)approx1.00000, y(0.3)approx0.95601
(b) Método de Taylor de ordem 2:
y(0.15)approx0.97750, y(0.3)approx0.91504

Exercícios relacionados