Considere o método de ponto fixo xn=gk(xn) e a função g(x)=x^4-x^2-x+19 / 10. Estime o intervalo (a, b) em que o método é garantido funcionar com erro menor do que 10^-6.

Passo 1

Beleza, o problema diz que a gente vai usar iteração de ponto-fixo
xn+1 = g(xn), g(x)=x^4 - x^2 - x + tfrac1910,
e pede um intervalo |xn - x^*| <= L^n1-L,|x1 - x0|, L = maxxin[a,b]|g'(x)|<1 onde o método seja contrato (ou seja, ) e o erro final fique abaixo de .
Conteúdo: Teorema do Ponto-Fixo de Banach (contração) e estimativa de erro.
O que vamos precisar:
1) Derivada .
2) Escolher um intervalo que contenha a raiz (onde ).
3) Verificar que leva esse intervalo em si e que .
4) Usar a fórmula do erro:

Passo 2

Primeiro, vamos achar aproximadamente onde está a raiz de x^4 - x^2 - x + tfrac1910 = x ;Longrightarrow; x^4 - x^2 - 2x + 1.9 = 0, .
Resolvendo numericamente
vemos que tem mudança de sinal em ( ) e em ( ), e de fato a raiz fica por volta de .
Então faz sentido trabalhar num intervalo tipo .

Passo 3

Vamos calcular a derivada
g'(x) = 4x^3 - 2x - 1
Em L = max[0.82,0.90]|g'(x)| ;approx;max(0.436,0.116) = 0.436 < 1, :
  • Em :
    .
  • Em :
    .
    Logo
então é contração.

Passo 4

Agora conferimos que manda o intervalo em si.
  • ,
  • .
    Ambos ficam em .
    Portanto o intervalo é invariante.

Passo 5

Passo-fixo garante
|xn - x^*| <= L^n1-L,l|x1 - x0r|
Como L^n1-L,0.08 < 10^-6 Longrightarrow L^n < 0.564cdot10^-60.08approx7.05times10^-6 (tamanho do intervalo) e n > ln(7.05times10^-6)ln(0.436) approx 14.3, , queremos
Tomando log:
logo iterações já bastam para ficar abaixo de .

Resposta

Um intervalo que funciona é
(a,b) = (0.82,;0.90),
com constante de Lipschitz e, a partir de , em no máximo iterações o erro fica abaixo de .

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