Considere o método de ponto fixo e a função . Estime o intervalo em que o método é garantido funcionar com erro menor do que .
Passo 1
Beleza, o problema diz que a gente vai usar iteração de ponto-fixo
e pede um intervalo onde o método seja contrato (ou seja, ) e o erro final fique abaixo de .
Conteúdo: Teorema do Ponto-Fixo de Banach (contração) e estimativa de erro.
O que vamos precisar:
1) Derivada .
2) Escolher um intervalo que contenha a raiz (onde ).
3) Verificar que leva esse intervalo em si e que .
4) Usar a fórmula do erro:
Passo 2
Primeiro, vamos achar aproximadamente onde está a raiz de .
Resolvendo numericamente
vemos que tem mudança de sinal em () e em (), e de fato a raiz fica por volta de .
Então faz sentido trabalhar num intervalo tipo .
Passo 3
Vamos calcular a derivada
Em :
Em : .
Em : .
Logo
então é contração.
Passo 4
Agora conferimos que manda o intervalo em si.
,
.
Ambos ficam em .
Portanto o intervalo é invariante.
Passo 5
Passo-fixo garante
Como L^n1-L,0.08 < 10^-6 Longrightarrow L^n < 0.564cdot10^-60.08approx7.05times10^-6 (tamanho do intervalo) e n > ln(7.05times10^-6)ln(0.436) approx 14.3, , queremos
Tomando log:
logo iterações já bastam para ficar abaixo de .
Resposta
Um intervalo que funciona é
(a,b) = (0.82,;0.90),
com constante de Lipschitz e, a partir de , em no máximo iterações o erro fica abaixo de .