Suponha que as funções de deslocamento x(t) e y(t) para um sistema massa-mola acoplado satisfaça o PVI
l d^2 xd t^2+5 x-2 y=0 d^2 yd t^2+2 y-2 x(t)=3 sen(2 t) x(0)=0 x^prime(0)=0 y(0)=1 y^prime(0)=0
Obtenha uma aproximação para x(0.2) e y(0.2), utilizando n p=2, via Método de Runge-Kutta de Quarta Ordem. Trabalhe com 5 casas decimais.

Passo 1

Então, o enunciado diz que temos um sistema massa-mola acoplado com as duas equações de segunda ordem
x'' + 5,x - 2,y = 0, y'' + 2,y - 2,x = 3sin(2t),
com condições iniciais , , , .
O conteúdo é EDOs em sistema e o Método de Runge–Kutta de 4ª ordem.
Vamos precisar:
  1. transformar tudo num sistema de primeira ordem,
  2. escolher passo ,
  3. aplicar o esquema clássico de RK4 em cada variável, com passos até .

Passo 2

Primeiro, definimos
u1 = x, u2 = x', u3 = y, u4 = y'
Aí o sistema vira
u1' = u2, u2' = -5,u1 + 2,u3, u3' = u4, u4' = 2,u1 -2,u3 + 3sin(2t)
Com valores iniciais , , , .

Passo 3

Como queremos h = 0.2-02 = 0.1 e k1 = h,f(tn,un), k2 = h,f!l(tn+tfrac h2,un + tfrack12r), com k3 = h,f!l(tn+tfrac h2,un + tfrack22r), k4 = h,f!l(tn+h,un + k3r), , o intervalo un+1 = un + k1 + 2k2 + 2k3 + k46 fica com passo
O esquema de RK4 para cada passo é, em forma vetorial,

Passo 4

Primeiro passo :
  • Calculo de :
    .
    .
  • Calculo de em , :
    .
  • Calculo de em , :
    .
  • Calculo de em , :
    .
  • Atualização:

    .

Passo 5

Segundo passo :
  • em :
    .
  • em :
    .
  • em :
    .
  • em :
    .
  • Atualização final:

    .

Resposta

x(0.2) ≈ 0.03910, y(0.2) ≈ 0.96844.

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