Suponha que as funções de deslocamento
e
para um sistema massa-mola acoplado satisfaça o PVI
Obtenha uma aproximação para
x(0.2) e
y(0.2) , utilizando
n p=2 , via Método de Runge-Kutta de Quarta Ordem. Trabalhe com 5 casas decimais.
Passo 1
Então, o enunciado diz que temos um sistema massa-mola acoplado com as duas equações de segunda ordem
com condições iniciais
,
,
,
.
O conteúdo é EDOs em sistema e o Método de Runge–Kutta de 4ª ordem.
Vamos precisar:
O conteúdo é EDOs em sistema e o Método de Runge–Kutta de 4ª ordem.
Vamos precisar:
- transformar tudo num sistema de primeira ordem,
- escolher passo
, - aplicar o esquema clássico de RK4 em cada variável, com
passos até .
Passo 2
Primeiro, definimos
Aí o sistema vira
Com valores iniciais
,
,
,
.
Passo 3
Como queremos
h = 0.2-02 = 0.1 e
k1 = h,f(tn,un), k2 = h,f!l(tn+tfrac h2,un + tfrack12r), com
k3 = h,f!l(tn+tfrac h2,un + tfrack22r), k4 = h,f!l(tn+h,un + k3r), , o intervalo
un+1 = un + k1 + 2k2 + 2k3 + k46 fica com passo
O esquema de RK4 para cada passo é, em forma vetorial,
Passo 4
Primeiro passo
:
- Calculo de
:
.
. - Calculo de
em , :
→ . - Calculo de
em , :
→ . - Calculo de
em , :
→ . - Atualização:
.
Passo 5
Segundo passo
:
-
em :
. -
em :
. -
em :
. -
em :
. - Atualização final:
.
Resposta
x(0.2) ≈ 0.03910, y(0.2) ≈ 0.96844.