Considere o MLPM
Qual deve ser a ordem desse MLPM para que seja possível determinar
e
? Justifique sua resposta.
Passo 1
Beleza, então o enunciado diz que a gente tem um método linear multipasso (MLPM) dado por
O que pedem é: “Qual deve ser a ordem desse MLPM para que dê pra achar
e
?”
Conteúdo envolvido: ordem de um método multipasso, condições de ordem (consistência) e sistema de equações para .
O que vamos precisar:
Conteúdo envolvido: ordem de um método multipasso, condições de ordem (consistência) e sistema de equações para
O que vamos precisar:
- Entender o que é ordem de um MLPM;
- Saber as primeiras condições de ordem (soma dos
, soma de , soma de , etc.); - Montar as equações e ver quantas aparecem em função da ordem.
Passo 2
Explicando a teoria:
Um MLPM geral
Um MLPM geral
é de ordem
se o erro local de truncatura é
.
Para isso, existem as chamadas “condições de ordem” (ou consistência):
Para isso, existem as chamadas “condições de ordem” (ou consistência):
- Soma das
deve dar zero (condição de ordem ≥1):
. - Soma de
deve bater com soma de (ordem ≥2):
. - Soma de
(ordem ≥3), e por aí vai.
Cada nível de ordem gera uma equação nova envolvendo.
Passo 3
No nosso MLPM temos
e
Primeira condição (ordem ≥1):
Isso já está satisfeito “de graça” — então só diz que o método é consistente de ordem ≥1.
Passo 4
Agora vem a parte chave: cada vez que a gente quiser subir de ordem, aparece UMA equação nova para
.
- Para ordem ≥2:
.
Cálculo:.
Então - Para ordem ≥3:
.
Cálculo:.
E o lado direito é.
Logo
Uma terceira equação não existe porque não temos mais parâmetros livres.
Passo 5
Repare que:
- A primeira equação (soma dos
) nem envolve , já estava satisfeita. - A segunda equação deu uma relação entre
e . - A terceira equação resolveu
.
Isso nos dá exatamente DUAS equações para DUAS incógnitas ().
Se a gente quisesse ordem ≥4, apareceriam mais equações — mas aí sobram incógnitas, o sistema ficaria incompatível.
Portanto, para ter exatas duas equações e poder achar , o método deve ser de ordem 2.
Portanto, para ter exatas duas equações e poder achar
Resposta
A ordem do MLPM deve ser 2.