Considere o MLPM
yn+2+4 yn+1-5 yn=h[beta1 fn+1+beta0 fn]
Qual deve ser a ordem desse MLPM para que seja possível determinar beta0 e beta1 ? Justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, então o enunciado diz que a gente tem um método linear multi­passo (MLPM) dado por
yn+2 + 4,yn+1 - 5,yn ;=; hl[beta1,fn+1 + beta0,fnr]
O que pedem é: “Qual deve ser a ordem desse MLPM para que dê pra achar e ?”
Conteúdo envolvido: ordem de um método multi­passo, condições de ordem (consistência) e sistema de equações para .
O que vamos precisar:
  • Entender o que é ordem de um MLPM;
  • Saber as primeiras condições de ordem (soma dos , soma de , soma de , etc.);
  • Montar as equações e ver quantas apare­cem em função da ordem.

Passo 2

Explicando a teoria:
Um MLPM geral
sumj=0^k alphaj,yn+j ;=; h sumj=0^k betaj,fn+j
é de ordem se o erro local de truncatura é .
Para isso, existem as chamadas “condições de ordem” (ou consistência):
  1. Soma das deve dar zero (condição de ordem ≥1):
    .
  2. Soma de deve bater com soma de (ordem ≥2):
    .
  3. Soma de (ordem ≥3), e por aí vai.
    Cada nível de ordem gera uma equação nova envolvendo .

Passo 3

No nosso MLPM temos alpha0 = -5, alpha1 = 4, alpha2 = 1, e
alpha0 + alpha1 + alpha2 = -5 + 4 +1 = 0
e são as incógnitas.
Primeira condição (ordem ≥1):
Isso já está satisfeito “de graça” — então só diz que o método é consistente de ordem ≥1.

Passo 4

Agora vem a parte chave: cada vez que a gente quiser subir de ordem, aparece UMA equação nova para beta0 + beta1 = 6 .
  • Para ordem ≥2:
    8 = 2,beta1 Longrightarrow beta1 = 4 .
    Cálculo: .
    Então
  • Para ordem ≥3:
    .
    Cálculo: .
    E o lado direito é .
    Logo
Uma terceira equação não existe porque não temos mais parâmetros livres.

Passo 5

Repare que:
  • A primeira equação (soma dos ) nem envolve , já estava satisfeita.
  • A segunda equação deu uma relação entre e .
  • A terceira equação resolveu .
    Isso nos dá exatamente DUAS equações para DUAS incógnitas ( ).
Se a gente quisesse ordem ≥4, apareceriam mais equações — mas aí sobram incógnitas, o sistema ficaria incompatível.
Portanto, para ter exatas duas equações e poder achar , o método deve ser de ordem 2.

Resposta

A ordem do MLPM deve ser 2.

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