Obtenha o polinômio que interpola os dados (1,12),(3,10) e (-2,-15). Utilize a fórmula de interpolação que preferir e não opere com decimais.

Passo 1

Então, o problema pede pra gente achar um polinômio de grau até 2 que passe pelos pontos , e .
Conteúdo da matéria: interpolação polinomial, usando a fórmula de Lagrange.
O que vamos precisar:
  • Entender a ideia da base de Lagrange ,
  • Montar o polinômio ,
  • Simplificar sem usar decimais.

Passo 2

Teoria de Lagrange (explicando de boa):
Para três pontos elli(x)=prodjneq ix-xjxi-xj , P(x)=y0,ell0(x)+y1,ell1(x)+y2,ell2(x) , , a gente define cada base assim:
Depois o polinômio fica

Passo 3

Agora, aplicando nos nossos pontos ell0(x) =(x-3)(x+2)(1-3)(1+2) =(x-3)(x+2)(-2)cdot 3 =-16(x-3)(x+2) ; ell1(x) =(x-1)(x+2)(3-1)(3+2) =(x-1)(x+2)2cdot5 =110(x-1)(x+2) ; ell2(x) =(x-1)(x-3)(-2-1)(-2-3) =(x-1)(x-3)(-3)cdot(-5) =115(x-1)(x-3) :

Passo 4

Montando P(x) =12ell0(x)+10ell1(x)+(-15)ell2(x) :
P(x) =12l(-tfrac16(x-3)(x+2)r) +10l(tfrac110(x-1)(x+2)r) -15l(tfrac115(x-1)(x-3)r)
Substituindo:

Passo 5

Basta multiplicar e somar tudo:
  1. (-2x^2+2x+12)+(x^2+x-2)+(-x^2+4x-3) =-2x^2+7x+7 , então .
  2. , então .
  3. , então .
Somando os três resultados:

Resposta

.

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