Considere a e b números inteiros não nulos e b > a. Sabendo que a b+a-2 b=15, é correto afirmar que o menor valor possível para b é:
a) -13
b) -2
c) 0
d) 2
e) 12

Passo 1

O enunciado nos dá a equação
ab + a - 2b = 15
e impõe que a e b sejam inteiros não nulos com b > a. Vamos encontrar todos os pares (a,b) que satisfazem essas condições e, em seguida, escolher o menor valor de b.

Passo 2

Reescrevendo a expressão, fatoramos a:
ab + a - 2b = a(b+1) - 2b = 15.

Passo 3

Isolamos a:
a(b+1) = 15 + 2b
a = \frac{15 + 2b}{b+1}.

Passo 4

Para que a seja inteiro, o divisor b+1 deve dividir 15 + 2b. Observamos que
15 + 2b = 2(b+1) + 13,
logo
\frac{15 + 2b}{b+1} = 2 + \frac{13}{b+1}.
Isso mostra que b+1 deve ser divisor de 13.

Passo 5

Os divisores inteiros de 13 são \pm1,\pm13. Portanto
b+1 \in \{1,\,-1,\,13,\,-13\} \quad\Longrightarrow\quad b \in \{0,\,-2,\,12,\,-14\}.

Passo 6

Eliminamos b=0 pois b\neq0. Para cada candidato calculamos
a = 2 + \frac{13}{b+1}
e verificamos a\neq0 e b>a:
  • Se b=-2, então a = 2 + \tfrac{13}{-1} = -11 e -2 > -11, válido.
  • Se b=12, então a = 2 + \tfrac{13}{13} = 3 e 12 > 3, válido.
  • Se b=-14, então a = 2 + \tfrac{13}{-13} = 1 mas -14 < 1, rejeitado.
As soluções inteiras são (a,b)=(-11,-2) e (3,12).

Resposta

O menor valor possível para b é -2.

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