A equação de estado de van der Walls modela a relação entre a pressão P , o volume v e a temperatura T de um gás através da função:
\left(P+\frac{a}{v^{2}}\right)(v-b)=R \cdot T
em que \mathrm{R}=8.314(\mathrm{~J} / \mathrm{mol} . \mathrm{K}) é a constante universal dos gases, a e b são parâmetros característicos de cada gás. Para determinado gás, os valores de P , v e T estão no quadro a seguir:
Estados físicos:
1
2
T(\mathrm{~K})
300
600
V(\mathrm{~m} 3 / \mathrm{kmol})
0.5
0.2
P(\mathrm{kPa})
6235.10
49881.50
Com essa função, aplicamos os dois valores do quadro e geramos o sistema de duas equações não lineares a seguir:
Monte um algoritmo que determine os 2 parâmetros a e b desse gás, com critério de parada \sum_{j=1}^{n}\left|\Delta x_{j}\right|<10^{-14}, usando o método de Newton com derivadas numéricas, a partir da solução inicial \left(\mathrm{a}^{(0)}, \mathrm{b}^{(0)}\right)=(0.2,0.2).
Passo 1
O enunciado nos dá a equação de van der Waals
\bigl(P+\tfrac{a}{v^{2}}\bigr)\,(v-b)=R\,T
e dois estados medidos (P_{1},V_{1},T_{1})\) e \((P_{2},V_{2},T_{2})\). Queremos encontrar os parâmetros \(a\) e \(b\) que satisfazem o sistema não\text{‐}linear
\[\begin{cases} f_{1}(a,b)=\Bigl(P_{1}+\frac{a}{V_{1}^{2}}\Bigr)\,(V_{1}-b)-R\,T_{1}=0,\\\ f_{2}(a,b)=\Bigl(P_{2}+\frac{a}{V_{2}^{2}}\Bigr)\,(V_{2}-b)-R\,T_{2}=0, \end{cases}
usando o método de Newton para sistemas, com derivadas numéricas e critério de parada \sum_{j=1}^{2}|\Delta x_{j}|<10^{-14}\], a partir de \((a^{(0)},b^{(0)})=(0,2,\;0,2).
Como não temos derivadas analíticas, aproximamos cada entrada do Jacobiano por diferenças centrais. Para um passo h>0 pequeno (por exemplo h=10^{-6}), fazemos, para i=1,2 e j=1,2,
Em cada iteração k, com x^{(k)}=(a^{(k)},b^{(k)}): 1. Calcular F\bigl(x^{(k)}\bigr). 2. Aproximar J_F\bigl(x^{(k)}\bigr) por diferenças centrais usando h. 3. Resolver o sistema linear
O algoritmo de Newton com derivadas numéricas acima determina os valores de a e b do gás com o critério de parada \sum_{j=1}^{2}|\Delta x_{j}|<10^{-14}, partindo de (a^{(0)},b^{(0)})=(0{,}2,0{,}2).