Sejam \alpha, \beta, \theta ângulos de um triângulo, então é verdade que \frac{\operatorname{tg}(\alpha)+\operatorname{tg}(\beta)+\operatorname{tg}(\theta)}{\operatorname{tg}(\alpha) \cdot \operatorname{tg}(\beta) \cdot \operatorname{tg}(\theta)}=1. Esse regra é válida mediante uma restrição, que é:
a) O triângulo não pode ser obtusângulo
b) O triângulo precisa ser acutângulo
c) O triângulo não pode ter ângulo de 45^{\circ}
d) O triângulo precisa ser equilátero.
e) O triângulo não pode ser retângulo

Passo 1

O enunciado considera um triângulo cujos ângulos satisfazem \alpha+\beta+\theta=\pi e afirma que vale
\frac{\tan\alpha+\tan\beta+\tan\theta}{\tan\alpha\;\tan\beta\;\tan\theta}=1.
Para mostrar isso, vamos usar a fórmula de soma de tangentes e o fato de \tan(\pi)=0.

Passo 2

Começamos escrevendo
\tan(\alpha+\beta+\theta)=\tan\pi=0.
Por outro lado,
\tan((\alpha+\beta)+\theta) =\frac{\tan(\alpha+\beta)+\tan\theta}{1-\tan(\alpha+\beta)\,\tan\theta}.
E ainda
\tan(\alpha+\beta) =\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\,\tan\beta}.
Substituindo este último em \tan((\alpha+\beta)+\theta) e igualando a zero, obtemos
\tan\alpha+\tan\beta+\tan\theta -\tan\alpha\,\tan\beta\,\tan\theta=0,
isto é,
\tan\alpha+\tan\beta+\tan\theta =\tan\alpha\,\tan\beta\,\tan\theta,
que é equivalente à identidade desejada.

Passo 3

Para que todas as fórmulas acima façam sentido, é preciso que os denominadores não se anulem. Em particular, ao usar \tan(\alpha+\beta) precisamos de
1-\tan\alpha\,\tan\beta\neq0,
isto é, \alpha+\beta\neq\pi/2. Mas como \alpha+\beta+\theta=\pi, isso equivale a \theta\neq\pi/2. De modo análogo, nenhum dos três ângulos pode ser \pi/2. Portanto, o triângulo não pode ser retângulo.

Resposta

e) O triângulo não pode ser retângulo.

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