A transformada de Laplace da função
, onde
corresponde a um impulso unitário em
, é dada por
a)
b)
C)
d)
a)
b)
C)
d)
Passo 1
Beleza, então o exercício é: “Calcular a transformada de Laplace de
onde
é um impulso em
.”
Isso é tópico de transformada de Laplace, usando a propriedade do impulso de Dirac e o teorema de deslocamento no tempo. A gente vai precisar lembrar:
Isso é tópico de transformada de Laplace, usando a propriedade do impulso de Dirac e o teorema de deslocamento no tempo. A gente vai precisar lembrar:
- como a
“pega” o valor da função no ponto em que ela está deslocada; - a propriedade de que, se
, então .
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a integral usando a definição do impulso:
A
“ativa” só quando
. Então, dentro da integral, é como se a gente plugasse
na função
, desde que
. Logo
Em notação de degrau, fica
Passo 3
Agora vamos aplicar o teorema de deslocamento no tempo. Se eu tenho
sua Laplace é
Aqui
.
Então, primeiro, calculemos
Então, primeiro, calculemos
A gente conhece essa integral padrão:
desde que
. Aqui
, logo
Passo 4
Agora volta pro deslocamento: