A transformada de Laplace da função f(t)=integral0^t de, onde de corresponde a um impulso unitário em tau=2, é dada por
a) F(s)=1s^2(s+3)^2
b) F(s)=e^2 s(s-3)^2
C) F(s)=e^-2 s(s+3)^2
d) F(s)=1s^2(s-3)^2

Passo 1

Beleza, então o exercício é: “Calcular a transformada de Laplace de
f(t)=integral0^tde
onde é um impulso em .”
Isso é tópico de transformada de Laplace, usando a propriedade do impulso de Dirac e o teorema de deslocamento no tempo. A gente vai precisar lembrar:
  1. como a “pega” o valor da função no ponto em que ela está deslocada;
  2. a propriedade de que, se , então .

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a integral usando a definição do impulso:
integral0^tde
A f(t)= (t-2),e^-3(t-2), & t>=2, 0, & t<2 “ativa” só quando f(t) = (t-2)e^-3(t-2),u(t-2) . Então, dentro da integral, é como se a gente plugasse na função , desde que . Logo
Em notação de degrau, fica

Passo 3

Agora vamos aplicar o teorema de deslocamento no tempo. Se eu tenho
g(t)=h(t-2),u(t-2),
sua Laplace é
Lg(t)(s)=e^-2s, Lh(t)(s)
Aqui H(s)= Lt,e^-3t(s) =integral0^inftyt,e^-3t,e^-s t,dt =integral0^inftyt,e^-(s+3)t,dt .
Então, primeiro, calculemos
integral0^inftyt,e^-a t,dt = 1a^2,
A gente conhece essa integral padrão:
H(s)=1(s+3)^2
desde que . Aqui , logo

Passo 4

Agora volta pro deslocamento:
F(s)= Lf(t)(s) =e^-2s,H(s) =e^-2s,1(s+3)^2

Resposta

boxedF(s)=e^-2s(s+3)^2

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