1. Considere o P(x)=c_{n} x^{n}+c_{n-1} x^{n-1}+\ldots+c_{1} x+c_{0}. Seja \xi uma raiz de P(x).
Mostre que -\frac{1}{\xi} é raiz do polinômio G(x)=x^{n} P\left(-\frac{1}{x}\right).

Passo 1

O enunciado define o polinômio
P(x)=c_{n}x^{n}+c_{n-1}x^{n-1}+\cdots+c_{1}x+c_{0}
e diz que \xi é raiz de P, ou seja, P(\xi)=0. Em seguida define
G(x)=x^{n}P\bigl(-\tfrac{1}{x}\bigr)
e pede para mostrar que -\tfrac{1}{\xi} é raiz de G. Vamos usar apenas a definição de raiz e manipular a substituição em G.

Passo 2

Como \xi é raiz de P, temos por definição
P(\xi)=0.

Passo 3

Vamos avaliar G em x_{0}=-\tfrac{1}{\xi}. Pela definição de G:
G\bigl(-\tfrac{1}{\xi}\bigr) =\Bigl(-\tfrac{1}{\xi}\Bigr)^{n} \;P\!\Bigl(-\tfrac{1}{(-1/\xi)}\Bigr).
Agora note que
-\tfrac{1}{(-1/\xi)}=\xi,
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G\bigl(-\tfrac{1}{\xi}\bigr) =\Bigl(-\tfrac{1}{\xi}\Bigr)^{n}\,P(\xi).

Passo 4

Como P(\xi)=0, segue que
G\bigl(-\tfrac{1}{\xi}\bigr) =\Bigl(-\tfrac{1}{\xi}\Bigr)^{n}\cdot 0 =0.
Isto mostra que -\tfrac{1}{\xi} anula G, ou seja, é raiz de G.

Resposta

-\tfrac{1}{\xi} é raiz de G(x).

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