1. Considere o polinômio
P(x)=x^{5}+6 x^{4}+10 x^{3}-11 x-6
a) Encontre os limites das raízes negativas.
b) Qual o número de raízes positivas?

Passo 1

O enunciado nos dá o polinômio
P(x)=x^{5}+6x^{4}+10x^{3}-11x-6
e pede:
a) “limites” das raízes negativas (isto é, o menor e o maior valor entre as raízes negativas);
b) o número de raízes positivas.
Para resolver, vamos usar o Teorema das Raízes Racionais (candidatos dividem o termo independente), testar esses candidatos em P(x), fatorar completamente e identificar as raízes.

Passo 2

Pelo Teorema das Raízes Racionais, os candidatos de raízes racionais são
\pm1,\\ \pm2,\\ \pm3,\\ \pm6.
Vamos avaliar P(x) nesses valores para encontrar as raízes exatas.

Passo 3

Calculando:
P(1)=1+6+10-11-6=0,
P(-1)=-1+6-10+11-6=0,
P(-2)=-32+96-80+22-6=0,
P(-3)=-243+486-270+33-6=0.
Portanto, x=1,\,-1,\,-2,\,-3 são raízes de P(x).

Passo 4

Para determinar multiplicidades e obter o fator completo, dividimos sucessivamente P(x) pelos fatores (x-1), (x+1), (x+2) e (x+3). O resultado final da fatoração é
P(x)=(x-1)\,(x+1)^{2}\,(x+2)\,(x+3).

Passo 5

Das raízes obtidas, as negativas são -1 (multiplicidade 2), -2 e -3. Logo o menor valor entre elas é -3 e o maior é -1.

Passo 6

A única raiz positiva aparece em x=1. Portanto, o número de raízes positivas de P(x) é 1.

Resposta

a) As raízes negativas são -3, -2 e -1, logo elas ficam entre -3 e -1.
b) Há exatamente 1 raiz positiva.

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