- Considere o polinômio
a) Encontre os limites das raízes negativas.
b) Qual o número de raízes positivas?
b) Qual o número de raízes positivas?
Passo 1
O enunciado nos dá o polinômio
e pede:
a) “limites” das raízes negativas (isto é, o menor e o maior valor entre as raízes negativas);
b) o número de raízes positivas.
Para resolver, vamos usar o Teorema das Raízes Racionais (candidatos dividem o termo independente), testar esses candidatos em , fatorar completamente e identificar as raízes.
a) “limites” das raízes negativas (isto é, o menor e o maior valor entre as raízes negativas);
b) o número de raízes positivas.
Para resolver, vamos usar o Teorema das Raízes Racionais (candidatos dividem o termo independente), testar esses candidatos em
Passo 2
Pelo Teorema das Raízes Racionais, os candidatos de raízes racionais são
Vamos avaliar
nesses valores para encontrar as raízes exatas.
Passo 3
Calculando:
Portanto,
são raízes de
.
Passo 4
Para determinar multiplicidades e obter o fator completo, dividimos sucessivamente
pelos fatores
,
,
e
. O resultado final da fatoração é
Passo 5
Das raízes obtidas, as negativas são
(multiplicidade 2),
e
. Logo o menor valor entre elas é
e o maior é
.
Passo 6
A única raiz positiva aparece em
. Portanto, o número de raízes positivas de
é
.
Resposta
a) As raízes negativas são
,
e
, logo elas ficam entre
e
.
b) Há exatamente raiz positiva.
b) Há exatamente