Considere
u d varphid x-alpha d^2 varphid x^2+k varphi=0
onde alpha, k e u são constantes maiores do que zero. Obtenha aproximações para as derivadas presentes na Eq. (5) considerando como referência i e aproximações recuada para a derivada primeira e centrada para a derivada segunda. Obtenha, então, um algoritmo de solução para a Eq. (5).

Passo 1

Beleza, aqui a ideia é discretizar a equação
u,dvarphidx-alpha,d^2varphidx^2+k,varphi=0
usando diferenças finitas. O conteúdo é método de diferenças finitas (FD): a gente vai precisar de um malha em com passo , da fórmula recuada (backward) pra derivada primeira e da fórmula centrada pra derivada segunda.

Passo 2

Primeiro, escrevemos as aproximações:
  1. Derivada primeira (aproximação recuada no nó dvarphidx|i approx varphii - varphii-1De):
d^2varphidx^2|i approx varphii+1 - 2varphii + varphii-1De
  1. Derivada segunda (aprox. centrada no nó ):

Passo 3

Agora substituímos essas aproximações na equação contínua, em cada nó u,varphii - varphii-1De:
u,De
Para organizar, multiplica tudo por :

Passo 4

Vamos abrir e agrupar os termos em -alpha,varphii+1 ;+;(2alpha + u,De:
alpha,varphii+1 =(2alpha + u,De
Isolando , o algoritmo de marcha fica:

Resposta

O esquema numérico no nó boxedvarphii+1 =(2alpha + u,De é
Assim, dado e , você marcha em usando essa fórmula.

Exercícios relacionados