Considere o polinômio complexo . Mostre que se é raiz de , então e também são raízes de .
Passo 1
Então, a questão diz que temos o polinômio
e pede pra mostrar duas coisas:
Se é raiz de , então .
Além disso, a partir de qualquer raiz , as oito “variações”
também são raízes.
Conteúdo envolvido: números complexos (módulo e conjugado), propriedades de polinômios com coeficientes reais e raízes da unidade.
Vamos precisar lembrar que
.
Se um polinômio tem coeficientes reais, conjugado de raiz é raiz.
As oitavas raízes da unidade são .
Passo 2
Mostrar que .
Como é raiz, temos
Agora tire módulo dos dois lados:
Daí , porque o único número real não negativo cuja oitava potência é 1 é 1.
Passo 3
Mostrar que é raiz.
O polinômio tem coeficientes reais. Nessa situação vale a propriedade
Como , então . Logo , ou seja, é raiz.
Passo 4
Mostrar que p(-w)=(-w)^8+1 = (-1)^8,w^8+1 = 1cdot w^8+1 = w^8+1 = 0 é raiz.
Basta substituir:
Passo 5
Mostrar que p(zeta,w) = (zeta,w)^8 +1 = zeta^8,w^8 +1 = 1cdot w^8 +1 =0 e são raízes (e já pegamos também ).
Para qualquer oitava raiz da unidade , temos
Isso mostra que multiplicar por ou por (ou por de novo) nos dá também raízes.
Passo 6
Agora é só combinar os dois tipos de transformações que aprendemos:
Se w,;i,w,;-w,;-i,w, bar w,;i,bar w,;-bar w,;-i,bar w é raiz, é raiz.
Se é raiz, (com ) também é.
Aplicando isso em e em , e nos quatro valores , obtemos exatamente as oito raízes:
Resposta
Mostramos que todo bar w,;-w,;i,w,;-i,w,;-bar w,;i,bar w,;-i,bar w raiz de satisfaz e que as transformações