Considere o polinômio complexo p(z)=z^8+1. Mostre que se w é raiz de p, então |w|=1 e barw,-w, i w,-i w,-barw, i barw,-i barw também são raízes de p.

Passo 1

Então, a questão diz que temos o polinômio
p(z)=z^8+1
e pede pra mostrar duas coisas:
  1. Se bar w,;-w,;i,w,;-i,w,;-bar w,;i,bar w,;-i,bar w é raiz de , então .
  2. Além disso, a partir de qualquer raiz , as oito “variações”
também são raízes.
Conteúdo envolvido: números complexos (módulo e conjugado), propriedades de polinômios com coeficientes reais e raízes da unidade.
Vamos precisar lembrar que
  • .
  • Se um polinômio tem coeficientes reais, conjugado de raiz é raiz.
  • As oitavas raízes da unidade são .

Passo 2

Mostrar que p(w)=w^8+1=0 ;Longrightarrow; w^8=-1 .
Como lvert w^8rvert=lvert -1rvert Longrightarrow lvert wrvert^8 = 1 é raiz, temos
Agora tire módulo dos dois lados:
Daí , porque o único número real não negativo cuja oitava potência é 1 é 1.

Passo 3

Mostrar que p(bar w)=p(w) é raiz.
O polinômio tem coeficientes reais. Nessa situação vale a propriedade
Como , então . Logo , ou seja, é raiz.

Passo 4

Mostrar que p(-w)=(-w)^8+1 = (-1)^8,w^8+1 = 1cdot w^8+1 = w^8+1 = 0 é raiz.
Basta substituir:

Passo 5

Mostrar que p(zeta,w) = (zeta,w)^8 +1 = zeta^8,w^8 +1 = 1cdot w^8 +1 =0 e são raízes (e já pegamos também ).
Para qualquer oitava raiz da unidade , temos
Isso mostra que multiplicar por ou por (ou por de novo) nos dá também raízes.

Passo 6

Agora é só combinar os dois tipos de transformações que aprendemos:
  1. Se w,;i,w,;-w,;-i,w, bar w,;i,bar w,;-bar w,;-i,bar w é raiz, é raiz.
  2. Se é raiz, (com ) também é.
Aplicando isso em e em , e nos quatro valores , obtemos exatamente as oito raízes:

Resposta

Mostramos que todo bar w,;-w,;i,w,;-i,w,;-bar w,;i,bar w,;-i,bar w raiz de satisfaz e que as transformações
também geram raízes de .

Exercícios relacionados