Determine as raízes dos polinômios a seguir:
Passo 1
Beleza, o enunciado manda “Determine as raízes do polinômio
Isso é conteúdo de números complexos: mais precisamente, vamos usar a forma polar de um número complexo (ou fórmula de Euler) e a fórmula das raízes
-ésimas. Para resolver, a gente vai:
- Escrever a equação como
. - Representar
em forma polar/Euler. - Aplicar a fórmula geral das raízes.
Passo 2
Primeiro passo de fato:
Agora, lembra da fórmula de Euler? Qualquer número complexo de módulo 1 pode ser escrito como
E
no plano complexo tem módulo 1 e argumento
(ângulo de 180°), mas também
para qualquer inteiro
. Ou seja:
Passo 3
Como
, então a solução geral para
vem da fórmula das raízes
-ésimas:
Isso significa que cada
de 0 a 7 vai gerar uma raiz diferente, porque ao somar
a
antes de dividir por 8, você cobre todas as posições distintas no círculo.
Passo 4
Vamos listar as 8 raízes correspondentes a
. O ângulo geral é
Logo as raízes são
Resposta
As oito raízes de
são, para
: