Determine as raízes dos polinômios a seguir:
z^8+1

Passo 1

Beleza, o enunciado manda “Determine as raízes do polinômio
z^8 + 1 = 0
Isso é conteúdo de números complexos: mais precisamente, vamos usar a forma polar de um número complexo (ou fórmula de Euler) e a fórmula das raízes -ésimas. Para resolver, a gente vai:
  1. Escrever a equação como .
  2. Representar em forma polar/Euler.
  3. Aplicar a fórmula geral das raízes.

Passo 2

Primeiro passo de fato:
z^8 + 1 = 0 Longrightarrow z^8 = -1
Agora, lembra da fórmula de Euler? Qualquer número complexo de módulo 1 pode ser escrito como
e^itheta = costheta + i,sintheta
E -1 = e^i(pi + 2pi k), kinZ no plano complexo tem módulo 1 e argumento (ângulo de 180°), mas também para qualquer inteiro . Ou seja:

Passo 3

Como z = l[e^i(pi + 2pi k)r]^1/8 = e^,ipi + 2pi k8, k = 0,1,2,dots,7 , então a solução geral para vem da fórmula das raízes -ésimas:
Isso significa que cada de 0 a 7 vai gerar uma raiz diferente, porque ao somar a antes de dividir por 8, você cobre todas as posições distintas no círculo.

Passo 4

Vamos listar as 8 raízes correspondentes a thetak = pi + 2pi k8 = (2k+1)pi8 . O ângulo geral é
zk = e^ithetak = cos!l(tfrac(2k+1)pi8r) + i,sin!l(tfrac(2k+1)pi8r), k=0,1,dots,7
Logo as raízes são

Resposta

As oito raízes de boxed zk = e^,i(2k+1)pi8 ;=; cos!l(tfrac(2k+1)pi8r) + i,sin!l(tfrac(2k+1)pi8r) são, para :

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