Considere o polinômio P_{3}(x)=2 x^{3}-x^{2}-3 x+1 e seja \xi a raiz negativa de P_{3}(x).
Determine uma aproximação \bar{\xi} para \xi utilizando o método de Newton e BriotRuffini, com aproximação inicial x_{0}=-1.25 e precisão \varepsilon=0.01.

Passo 1

O enunciado dá o polinómio
P_{3}(x)=2x^{3}-x^{2}-3x+1
e pede uma aproximação \bar{\xi} da raiz negativa \xi de P_{3}, usando o método de Newton e Briot–Ruffini (Horner) com:
x_{0}=-1,25\qquad\text{e}\qquad \varepsilon=0,01.
Informações úteis extraídas do enunciado:
\text{coeficientes de }P_{3}:\;2,\,-1,\,-3,\,1.
A tarefa é iterar Newton até que a diferença entre iterações consecutivas seja menor que \varepsilon=0,01.

Passo 2

Explico as ferramentas que vamos usar (calma — passo a passo e sem pular etapas).
  1. Método de Newton:
\text{Regra de iteração: }\quad x_{n+1}=x_{n}-\frac{P_{3}(x_{n})}{P_{3}'(x_{n})}.çã
Aqui x_{n} é a aproximação atual, P_{3}(x_{n}) é o valor do polinómio nessa x_{n} e P_{3}'(x_{n}) é o valor da derivada do polinómio nessa mesma x_{n}. Paramos quando |x_{n+1}-x_{n}|<\varepsilon.
  1. Briot–Ruffini (Horner) para avaliar P_{3}(x) e P_{3}'(x) de forma rápida:
  • Para P_{3}(x)=2x^{3}-x^{2}-3x+1 usamos os coeficientes 2,\,-1,\,-3,\,1. Aplicando Briot–Ruffini com um valor r obtemos, pela coluna de baixo, os coeficientes do quociente e o resto (que é P_{3}(r)).
  • Para P_{3}'(x) primeiro calculamos a derivada analiticamente:
P_{3}'(x)=6x^{2}-2x-3,
cuja avaliação em r também pode ser feita com Briot–Ruffini aplicando-o aos coeficientes 6,\,-2,\,-3.
Vou mostrar explicitamente as tabelas de Briot–Ruffini em cada iteração (trazendo os valores passo a passo), para que fique claro e você saiba fazer na prova.

Passo 3

Primeira iteração: x_{0}=-1,25.
Avaliação de P_{3}(x_{0}) por Briot–Ruffini (coeficientes 2,\,-1,\,-3,\,1):
\begin{array}{r|rrrr} -1,25 & 2 & -1 & -3 & 1\\\ \hline & 2 & -3,5 & 1,375 & -0,71875 \end{array}
Interpretação da tabela: ao aplicar o algoritmo, o último número -0,71875 é o resto, logo
P_{3}(-1,25)=-0,71875.
Avaliação de P_{3}'(x_{0}) por Briot–Ruffini (coeficientes 6,\,-2,\,-3):
\begin{array}{r|rrr} -1,25 & 6 & -2 & -3\\\ \hline & 6 & -9,5 & 8,875 \end{array}
O resto 8,875 é o valor da derivada, isto é
P_{3}'(-1,25)=8,875.
Agora aplicamos a fórmula de Newton:
x_{1}=x_{0}-\frac{P_{3}(x_{0})}{P_{3}'(x_{0})} =-1,25-\frac{-0,71875}{8,875} =-1,25+\frac{23}{284},
onde usamos a forma fracionária \dfrac{23}{284} obtida pela simplificação. Numericamente,
x_{1}\approx -1,1690140845.
Diferença das iterações:
|x_{1}-x_{0}|\approx 0,0809859155 > 0,01,
logo ainda não atingimos a precisão desejada; continuamos.

Passo 4

Segunda iteração: x_{1}\approx -1,1690140845.
Avaliação de P_{3}(x_{1}) por Briot–Ruffini (coeficientes 2,\,-1,\,-3,\,1). Aplicando o algoritmo (mostro os números resultantes das somas/parciais):
\begin{array}{r|rrrr} -1,1690140845 & 2 & -1 & -3 & 1\\\ \hline & 2 & -3,3380281690 & 0,9022019442 & -0,0546867798 \end{array}
Da tabela vem o resto -0,0546867798, isto é
P_{3}(x_{1})\approx -0,0546867798.
Avaliação de P_{3}'(x_{1}) por cálculo direto ou por Briot–Ruffini nos coeficientes 6,\,-2,\,-3.
Usando a fórmula da derivada:
P_{3}'(x)=6x^{2}-2x-3,
substituindo x_{1} obtemos, com os valores calculados,
P_{3}'(x_{1})\approx 7,537563183.
Aplicando Newton:
x_{2}=x_{1}-\frac{P_{3}(x_{1})}{P_{3}'(x_{1})} \approx -1,1690140845-\frac{-0,0546867798}{7,537563183} \approx -1,1617590845.
Verificamos a diferença:
|x_{2}-x_{1}|\approx 0,007255 < 0,01.
Como a diferença entre iterações consecutivas ficou menor que \varepsilon=0,01, paramos aqui. Isso significa que a aproximação pedida é x_{2}.

Passo 5

Resumo do que fizemos e resultado prático para levar à prova:
  • Começamos com x_{0}=-1,25.
  • Fizemos uma iteração de Newton (avaliando P_{3} e P_{3}' com Briot–Ruffini) e obtivemos x_{1}\approx -1,1690140845.
  • Fizemos a segunda iteração e obtivemos x_{2}\approx -1,1617590845.
  • A condição de parada |x_{2}-x_{1}|<0,01 foi satisfeita, logo podemos tomar \bar{\xi}=x_{2} como aproximação com a precisão exigida.

Resposta

\bar{\xi}\approx -1,1617590845

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