Considere o polinômio
e seja
a raiz negativa de
.
Determine uma aproximação
para
utilizando o método de Newton e BriotRuffini, com aproximação inicial
e precisão
.
Determine uma aproximação
Passo 1
O enunciado dá o polinómio
e pede uma aproximação
da raiz negativa
de
, usando o método de Newton e Briot–Ruffini (Horner) com:
Informações úteis extraídas do enunciado:
A tarefa é iterar Newton até que a diferença entre iterações consecutivas seja menor que
.
Passo 2
Explico as ferramentas que vamos usar (calma — passo a passo e sem pular etapas).
- Método de Newton:
Aqui
é a aproximação atual,
é o valor do polinómio nessa
e
é o valor da derivada do polinómio nessa mesma
. Paramos quando
.
- Briot–Ruffini (Horner) para avaliar
e de forma rápida:
- Para
usamos os coeficientes . Aplicando Briot–Ruffini com um valor obtemos, pela coluna de baixo, os coeficientes do quociente e o resto (que é ). - Para
primeiro calculamos a derivada analiticamente:
cuja avaliação em
também pode ser feita com Briot–Ruffini aplicando-o aos coeficientes
.
Vou mostrar explicitamente as tabelas de Briot–Ruffini em cada iteração (trazendo os valores passo a passo), para que fique claro e você saiba fazer na prova.
Vou mostrar explicitamente as tabelas de Briot–Ruffini em cada iteração (trazendo os valores passo a passo), para que fique claro e você saiba fazer na prova.
Passo 3
Primeira iteração:
.
Avaliação de
por Briot–Ruffini (coeficientes
):
Interpretação da tabela: ao aplicar o algoritmo, o último número
é o resto, logo
Avaliação de
por Briot–Ruffini (coeficientes
):
O resto
é o valor da derivada, isto é
Agora aplicamos a fórmula de Newton:
onde usamos a forma fracionária
obtida pela simplificação. Numericamente,
Diferença das iterações:
logo ainda não atingimos a precisão desejada; continuamos.
Passo 4
Segunda iteração:
.
Avaliação de
por Briot–Ruffini (coeficientes
). Aplicando o algoritmo (mostro os números resultantes das somas/parciais):
Da tabela vem o resto
, isto é
Avaliação de
por cálculo direto ou por Briot–Ruffini nos coeficientes
.
Usando a fórmula da derivada:
Usando a fórmula da derivada:
substituindo
obtemos, com os valores calculados,
Aplicando Newton:
Verificamos a diferença:
Como a diferença entre iterações consecutivas ficou menor que
, paramos aqui. Isso significa que a aproximação pedida é
.
Passo 5
Resumo do que fizemos e resultado prático para levar à prova:
- Começamos com
. - Fizemos uma iteração de Newton (avaliando
e com Briot–Ruffini) e obtivemos . - Fizemos a segunda iteração e obtivemos
. - A condição de parada
foi satisfeita, logo podemos tomar como aproximação com a precisão exigida.