Localize as raízes das equações a seguir:
Em todos os casos, verifique que os zeros são únicos nos pequenos intervalos.
Passo 1
O enunciado pede para localizar as raízes da equação
ou seja, encontrar os valores de
tais que
.
Informações fornecidas que vamos usar diretamente:
Informações fornecidas que vamos usar diretamente:
O que é pedido:
- encontrar os pontos
onde ; - verificar que, em pequenos intervalos onde localizamos cada zero, ele é único (ou seja, não existem outros zeros naquele pequeno intervalo).
Passo 2
Primeiro vamos entender o comportamento da função
. Vou te explicar passo a passo os conceitos que usamos.
Definição e continuidade: definimos
Essa função é contínua e diferenciável em toda a reta real porque
é uma função exponencial contínua e diferenciável e
é linear.
Comportamento nas extremidades:
- quando
, temos mais rápido que , logo ; - quando
, temos e (porque é muito negativo), logo .
Esses limites dizem que a função tende a
em ambas as extremidades. Isso, combinado com o fato de
ser contínua, nos sugere que se existir um mínimo abaixo de zero então a equação terá duas raízes (uma à esquerda do mínimo e outra à direita).
Passo 3
Vamos estudar a monotonicidade e a convexidade via derivadas — isso nos dá controle para provar unicidade dos zeros em intervalos.
Derivada de
:
Segunda derivada:
Como
em toda a reta,
é estritamente convexa e, portanto, tem no máximo um ponto crítico (um mínimo global).
Encontramos o ponto crítico resolvendo
:
Tomando logaritmo base
:
Esse
é o único ponto onde
se anula; por convexidade é um mínimo global. Vamos estimar numericamente
: usando
obtemos
e
Avaliação de
no mínimo:
Calculei
e isso mostra
, cujo numerador é negativo (pois
). Logo
. Conclusão:
é convexa, tende a
nas duas extremidades e tem um mínimo negativo, portanto a equação
tem exatamente duas raízes reais distintas.
Passo 4
Localizamos um zero entre
e
.
Avaliações simples:
Como
é contínua, por Bolzano existe pelo menos um
com
.
Verificação de unicidade no intervalo
: para garantir que esse zero é único no pequeno intervalo
basta ver que
é estritamente negativa aí. De fato,
é crescente em
, então o maior valor de
em
é em
. Calculamos
Logo
para todo
, ou seja,
é estritamente decrescente em
. Assim há exatamente um zero em
.
Passo 5
Refinamento (bisseção) para obter um valor aproximado do primeiro zero (método simples, passo a passo):
Queremos um
tal que
.
- Teste meio de
: .
Como
e
, raiz em
.
- Teste
:
Agora raiz em
.
- Teste
:
Raiz em
.
- Teste
:
Raiz em
.
- Teste
:
Raiz em
.
- Teste
:
Raiz em
.
Continuando a bisseção mais um ou dois passos (como fiz nas contas de análise), obtemos uma aproximação com três casas decimais:
Portanto o primeiro zero está em
e pode ser aproximado por
. Como já mostramos monotonicidade em
, esse zero é único nesse pequeno intervalo.
Passo 6
Localizamos o segundo zero entre
e
.
Avaliações:
Por continuidade existe pelo menos uma raiz em
.
Unicidade em
: como
é crescente e o menor valor de
em
ocorre em
, calculamos
Logo
em
, isto é,
é estritamente crescente ali; portanto existe exatamente um zero em
.
Passo 7
Refinamento (bisseção) para o segundo zero:
- Meio de
: .
Como
e
, raiz em
.
- Teste
:
Raiz em
.
- Teste
:
Raiz em
.
- Teste
:
- Teste
:
Isso nos dá, após algumas iterações, uma aproximação com três casas decimais:
Passo 8
Resumo lógico:
é convexa com mínimo negativo, tende a
nas duas extremidades, então tem exatamente duas raízes reais. Demonstramos existencia e unicidade local das raízes em
e em
usando mudanças de sinal e o sinal da derivada nesses intervalos, e refinamos numericamente por bisseção até três casas decimais.