Localize as raízes das equações a seguir:
2^{x}-3 x=0
Em todos os casos, verifique que os zeros são únicos nos pequenos intervalos.

Passo 1

O enunciado pede para localizar as raízes da equação
2^{x}-3x=0,
ou seja, encontrar os valores de x tais que 2^{x}=3x.
Informações fornecidas que vamos usar diretamente:
\text{definimos }f(x)=2^{x}-3x.
O que é pedido:
  • encontrar os pontos x onde f(x)=0;
  • verificar que, em pequenos intervalos onde localizamos cada zero, ele é único (ou seja, não existem outros zeros naquele pequeno intervalo).

Passo 2

Primeiro vamos entender o comportamento da função f. Vou te explicar passo a passo os conceitos que usamos.
Definição e continuidade: definimos
f(x)=2^{x}-3x.
Essa função é contínua e diferenciável em toda a reta real porque 2^{x} é uma função exponencial contínua e diferenciável e 3x é linear.
Comportamento nas extremidades:
  • quando x\to+\infty, temos 2^{x}\to+\infty mais rápido que 3x, logo f(x)\to+\infty;
  • quando x\to-\infty, temos 2^{x}\to0 e -3x\to+\infty (porque x é muito negativo), logo f(x)\to+\infty.
Esses limites dizem que a função tende a +\infty em ambas as extremidades. Isso, combinado com o fato de f ser contínua, nos sugere que se existir um mínimo abaixo de zero então a equação terá duas raízes (uma à esquerda do mínimo e outra à direita).

Passo 3

Vamos estudar a monotonicidade e a convexidade via derivadas — isso nos dá controle para provar unicidade dos zeros em intervalos.
Derivada de f:
f'(x)=\frac{d}{dx}2^{x}-3=2^{x}\ln 2 -3.
Segunda derivada:
f''(x)=2^{x}(\ln 2)^{2}>0\quad\text{para todo }x.
Como f''(x)>0 em toda a reta, f é estritamente convexa e, portanto, tem no máximo um ponto crítico (um mínimo global).
Encontramos o ponto crítico resolvendo f'(x)=0:
2^{x}\ln 2 -3=0\quad\Longrightarrow\quad 2^{x}=\frac{3}{\ln 2}.
Tomando logaritmo base 2:
x_c=\log_{2}\!\left(\frac{3}{\ln 2}\right).
Esse x_c é o único ponto onde f' se anula; por convexidade é um mínimo global. Vamos estimar numericamente x_c: usando \ln 2\approx0,6931 obtemos \dfrac{3}{\ln 2}\approx4,3281 e
x_c=\log_{2}(4,3281)\approx\frac{\ln(4,3281)}{\ln 2}\approx\frac{1,4651}{0,6931}\approx2,113.
Avaliação de f no mínimo:
f(x_c)=2^{x_c}-3x_c=\frac{3}{\ln 2}-3x_c=3\Big(\frac{1}{\ln 2}-x_c\Big).
Calculei \ln(3/\ln 2)\approx1,4651 e isso mostra \dfrac{1}{\ln 2}-x_c=\dfrac{1-\ln(3/\ln 2)}{\ln 2}, cujo numerador é negativo (pois 1-\ln(3/\ln 2)\approx -0,4651). Logo f(x_c)<0. Conclusão: f é convexa, tende a +\infty nas duas extremidades e tem um mínimo negativo, portanto a equação f(x)=0 tem exatamente duas raízes reais distintas.

Passo 4

Localizamos um zero entre 0 e 1.
Avaliações simples:
f(0)=2^{0}-3\cdot 0=1>0,
f(1)=2^{1}-3\cdot 1=2-3=-1<0.
Como f é contínua, por Bolzano existe pelo menos um x\in(0,1) com f(x)=0.
Verificação de unicidade no intervalo (0,1): para garantir que esse zero é único no pequeno intervalo [0,1] basta ver que f' é estritamente negativa aí. De fato, 2^{x}\ln 2 é crescente em x, então o maior valor de 2^{x}\ln 2 em [0,1] é em x=1. Calculamos
f'(1)=2\ln 2-3\approx1,3862-3=-1,6138<0.
Logo f'(x)<0 para todo x\in[0,1], ou seja, f é estritamente decrescente em [0,1]. Assim há exatamente um zero em (0,1).

Passo 5

Refinamento (bisseção) para obter um valor aproximado do primeiro zero (método simples, passo a passo):
Queremos um x tal que f(x)=2^{x}-3x=0.
  1. Teste meio de [0,1]: x=0,5.
2^{0,5}=\sqrt{2}\approx1,4142,\qquad f(0,5)\approx1,4142-1,5=-0,0858<0.
Como f(0)=1>0 e f(0,5)<0, raiz em (0,0,5).
  1. Teste x=0,4:
2^{0,4}=e^{0,4\ln2}\approx e^{0,2773}\approx1,3196,\qquad f(0,4)\approx1,3196-1,2=0,1196>0.
Agora raiz em (0,4,\,0,5).
  1. Teste x=0,45:
2^{0,45}=e^{0,45\ln2}\approx e^{0,3119}\approx1,3665,\qquad f(0,45)\approx1,3665-1,35=0,0165>0.
Raiz em (0,45,\,0,5).
  1. Teste x=0,475:
2^{0,475}=e^{0,475\ln2}\approx e^{0,3292}\approx1,3894,\qquad f(0,475)\approx1,3894-1,425=-0,0356<0.
Raiz em (0,45,\,0,475).
  1. Teste x=0,4625:
2^{0,4625}\approx e^{0,3206}\approx1,3777,\qquad f(0,4625)\approx1,3777-1,3875=-0,0098<0.
Raiz em (0,45,\,0,4625).
  1. Teste x=0,45625:
2^{0,45625}\approx e^{0,3162}\approx1,3721,\qquad f(0,45625)\approx1,3721-1,36875=0,00335>0.
Raiz em (0,45625,\,0,4625).
Continuando a bisseção mais um ou dois passos (como fiz nas contas de análise), obtemos uma aproximação com três casas decimais:
x_1\approx0,458.
Portanto o primeiro zero está em (0,1) e pode ser aproximado por x\approx0,458. Como já mostramos monotonicidade em [0,1], esse zero é único nesse pequeno intervalo.

Passo 6

Localizamos o segundo zero entre 3 e 4.
Avaliações:
f(3)=2^{3}-3\cdot 3=8-9=-1<0,
f(4)=2^{4}-3\cdot 4=16-12=4>0.
Por continuidade existe pelo menos uma raiz em (3,4).
Unicidade em [3,4]: como f' é crescente e o menor valor de f' em [3,4] ocorre em x=3, calculamos
f'(3)=2^{3}\ln 2 -3 =8\ln 2 -3\approx8\cdot0,6931-3\approx5,5448-3=2,5448>0.
Logo f'(x)>0 em [3,4], isto é, f é estritamente crescente ali; portanto existe exatamente um zero em (3,4).

Passo 7

Refinamento (bisseção) para o segundo zero:
  1. Meio de [3,4]: x=3,5.
2^{3,5}=8\sqrt{2}\approx8\cdot1,4142=11,3137,\qquad f(3,5)\approx11,3137-10,5=0,8137>0.
Como f(3)<0 e f(3,5)>0, raiz em (3,3,5).
  1. Teste x=3,25:
2^{3,25}=8\cdot 2^{0,25}\approx8\cdot1,1892=9,5136,\qquad f(3,25)\approx9,5136-9,75=-0,2364<0.
Raiz em (3,25,\,3,5).
  1. Teste x=3,375:
2^{3,375}\approx8\cdot e^{0,375\ln2}\approx8\cdot1,2969=10,375,\qquad f(3,375)\approx10,375-10,125=0,25>0.
Raiz em (3,25,\,3,375).
  1. Teste x=3,3125:
2^{3,3125}\approx8\cdot e^{0,3125\ln2}\approx8\cdot1,2420\approx9,936,\qquad f(3,3125)\approx9,936-9,9375\approx -0,0015\\ (<0).
  1. Teste x=3,34375:
2^{3,34375}\approx8\cdot e^{0,34375\ln2}\approx8\cdot1,2694\approx10,155,\qquad f(3,34375)\approx10,155-10,03125\approx0,1238>0.
Isso nos dá, após algumas iterações, uma aproximação com três casas decimais:
x_2\approx3,313.

Passo 8

Resumo lógico: f é convexa com mínimo negativo, tende a +\infty nas duas extremidades, então tem exatamente duas raízes reais. Demonstramos existencia e unicidade local das raízes em (0,1) e em (3,4) usando mudanças de sinal e o sinal da derivada nesses intervalos, e refinamos numericamente por bisseção até três casas decimais.

Resposta

x\approx0,458
x\approx3,313

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