Encontre uma aproximação para a única solução da equação
no intervalo
, utilizando o método de Newton com precisão
. Faça aproximação por arredondamento para seis casas decimais na solução obtida.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar uma aproximação para a única solução da equação
no intervalo
, usando o método de Newton com precisão
e, ao final, arredondar a solução obtida para seis casas decimais.
Informações dadas (úteis para a resolução):
Informações dadas (úteis para a resolução):
Não é pedido outro método: foi indicado usar Newton; vamos aplicar exatamente esse método até atingir a precisão indicada.
Passo 2
Transformando a equação em função para trabalhar com Newton: definimos
Para aplicar Newton precisamos também da derivada
. Vamos derivar passo a passo:
- A derivada de
é obtida pela regra da cadeia: primeiro derivamos o expoente , que dá , e multiplicamos por . Logo
- A derivada de
é .
Portanto
Aqui:
mede a diferença entre o lado esquerdo e o direito da equação;
indica a inclinação da curva — informação necessária no passo de Newton.
Passo 3
Antes de iterar, confirmamos que há exatamente uma raiz em
(isso nos dá segurança ao escolher o ponto inicial):
- Calculemos
e :
Como
é contínua, há pelo menos uma raiz em
(troca de sinal).
- Para unicidade, observamos
. No intervalo temos e portanto . Logo é estritamente decrescente em , o que garante existência e unicidade da raiz nesse intervalo.
Passo 4
Fórmula do método de Newton e critério de parada que usaremos:
- Iteração de Newton:
Expliquei antes o significado de
e
. O método usa a reta tangente em
para aproximar a raiz.
- Critério de parada: usaremos
com . Esse é um critério comum (controle direto da diferença entre iterações) e garante a precisão desejada na variável . - Escolha do chute inicial: como vimos
já é pequeno e positivo (raiz está entre e ), escolhemos
o que normalmente dá convergência rápida (Newton converge quadráticamente quando perto da raiz).
Passo 5
Iteração 0 → 1 (a partir de
):
- Calcule
:
- Calcule
:
- Aplicando Newton:
Diferença:
ainda não satisfez o critério; continuamos.
Passo 6
Iteração 1 → 2 (a partir de
):
- Calcule
e . Usando cálculos aproximados com precisão suficiente:
- Calcule
:
- Calcule
:
- Atualização de Newton:
O quociente vale aproximadamente
, logo
Diferença:
ainda não atingimos a precisão desejada, mas estamos bem próximos.
Passo 7
Iteração 2 → 3 (a partir de
):
- Avaliando
com a precisão disponível:
- Então
- Derivada:
- Correção de Newton:
- Atualização:
Diferença entre as últimas iterações:
logo o critério
com
está satisfeito e podemos parar.
Passo 8
Consolidação: a última iteração deu
Agora fazemos o arredondamento para seis casas decimais (seis dígitos após a vírgula). Observando os dígitos:
portanto pelo arredondamento padrão o
decimal (que é
) sobe para
. O resultado arredondado com seis casas decimais é
.