Considere os pontos:
1
4
9
16
0
1
4
8
Considere a função de regressão
cujo parâmetro
foi ajustado pelo método dos quadrados mínimos com os pontos dados.
Qual o valor de
?
|
|
1 | 4 | 9 | 16 |
|
|
0 | 1 | 4 | 8 |
Passo 1
O enunciado pede: encontrar o valor do parâmetro
da função de regressão
ajustada pelos quadrados mínimos aos pontos dados.
Os pontos fornecidos são (peguei-os da tabela do enunciado):
Os pontos fornecidos são (peguei-os da tabela do enunciado):
Passo 2
Vamos organizar o problema de forma prática. A função
é linear em
se tratarmos
como uma variável conhecida. Para facilitar a notação, defino
para cada ponto
. Assim o modelo fica
. O ajuste pelos quadrados mínimos consiste em escolher
que minimiza a soma dos quadrados dos resíduos:
Aqui temos
pontos. Vou explicar detalhadamente como obter a fórmula de
.
Passo 3
Para minimizar
em relação a
usamos cálculo elementar: derivamos
em relação a
e igualamos a zero (condição de mínimo para uma função quadrática em
). Começando por escrever a derivada:
Colocando fator comum:
Igualando a zero para obter o minimizador:
Distribuindo a soma:
Portanto a solução para
é
Aqui
é a soma dos produtos entre cada
e o correspondente
, e
é a soma dos quadrados de
(note que
).
Passo 4
Agora aplico a fórmula aos dados concretos. Primeiro calculo
e os produtos
:
Agora as somas necessárias:
Passo 5
Substituindo na fórmula encontrada:
Simplificando a fração (dividindo numerador e denominador por
):