Considere os pontos:
x 1 4 9 16
y 0 1 4 8
Considere a função de regressão u(x)=b \sqrt{x} cujo parâmetro b foi ajustado pelo método dos quadrados mínimos com os pontos dados.
Qual o valor de b ? \square

Passo 1

O enunciado pede: encontrar o valor do parâmetro b da função de regressão u(x)=b\sqrt{x} ajustada pelos quadrados mínimos aos pontos dados.
Os pontos fornecidos são (peguei-os da tabela do enunciado):
(x,y)= (1,0),\\ (4,1),\\ (9,4),\\ (16,8).

Passo 2

Vamos organizar o problema de forma prática. A função u(x)=b\sqrt{x} é linear em b se tratarmos \sqrt{x} como uma variável conhecida. Para facilitar a notação, defino
t_i=\sqrt{x_i}
para cada ponto (x_i,y_i). Assim o modelo fica u_i=b\,t_i. O ajuste pelos quadrados mínimos consiste em escolher b que minimiza a soma dos quadrados dos resíduos:
S(b)=\sum_{i=1}^{n}\bigl(y_i-b\,t_i\bigr)^2.
Aqui temos n=4 pontos. Vou explicar detalhadamente como obter a fórmula de b.

Passo 3

Para minimizar S(b) em relação a b usamos cálculo elementar: derivamos S(b) em relação a b e igualamos a zero (condição de mínimo para uma função quadrática em b). Começando por escrever a derivada:
\frac{dS}{db}=\frac{d}{db}\sum_{i=1}^{n}\bigl(y_i-b\,t_i\bigr)^2 =\sum_{i=1}^{n}2\bigl(y_i-b\,t_i\bigr)(-t_i).
Colocando fator comum:
\frac{dS}{db}=-2\sum_{i=1}^{n}t_i\bigl(y_i-b\,t_i\bigr).
Igualando a zero para obter o minimizador:
-2\sum_{i=1}^{n}t_i\bigl(y_i-b\,t_i\bigr)=0.
Distribuindo a soma:
\sum_{i=1}^{n}t_i y_i - b\sum_{i=1}^{n}t_i^2=0.
Portanto a solução para b é
b=\frac{\sum_{i=1}^{n}t_i y_i}{\sum_{i=1}^{n}t_i^2}.
Aqui \sum t_i y_i é a soma dos produtos entre cada y_i e o correspondente t_i=\sqrt{x_i}, e \sum t_i^2 é a soma dos quadrados de t_i (note que t_i^2=x_i).

Passo 4

Agora aplico a fórmula aos dados concretos. Primeiro calculo t_i=\sqrt{x_i} e os produtos t_i y_i:
\begin{array}{c|c|c} x_i & t_i=\sqrt{x_i} & t_i y_i\\hline 1 & 1 & 1\cdot 0 = 0\\\\ 4 & 2 & 2\cdot 1 = 2\\\\ 9 & 3 & 3\cdot 4 = 12\\\\ 16 & 4 & 4\cdot 8 = 32 \end{array}
Agora as somas necessárias:
\sum_{i=1}^{4} t_i y_i = 0+2+12+32 = 46,
\sum_{i=1}^{4} t_i^2 = \sum_{i=1}^{4} x_i = 1+4+9+16 = 30.

Passo 5

Substituindo na fórmula encontrada:
b=\frac{\sum_{i=1}^{4} t_i y_i}{\sum_{i=1}^{4} t_i^2}=\frac{46}{30}.
Simplificando a fração (dividindo numerador e denominador por 2):
b=\frac{23}{15}.

Resposta

\displaystyle b=\frac{23}{15}

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