Considere os pontos igualmente espaçados: x0, x1, x2, x3, x4 ; xk=x0+k h, k=0,1, ldots, 4, e as diferenças divididas de primeira ordem de uma função f(x) sobre estes pontos, dada por:
f[x0, x1]=beta, & f[x1, x2]=beta+2 h f[x2, x3]=beta+4 h, & f[x3, x4]=beta+6 h ; beta neq 0
Qual é o polinômio interpolador? Por quê?

Passo 1

Resumo do enunciado: temos cinco pontos igualmente espaçados
xk = x0 + k,h, k=0,1,2,3,4
e as diferenças divididas de primeira ordem
f[x0,x1]=beta, f[x1,x2]=beta+2h, f[x2,x3]=beta+4h, f[x3,x4]=beta+6h
Conteúdo: diferenças divididas e interpolação de Newton. Vamos precisar calcular diferenças de ordem superior para descobrir o grau do polinômio e depois montar a forma de Newton.

Passo 2

Calcular as diferenças divididas de segunda ordem. Por definição,
f[xi,xi+1,xi+2] =f[xi+1,xi+2]-f[xi,xi+1]xi+2-xi
Para f[x0,x1,x2] =(beta+2h)-beta(x2-x0) =2h2h=1 :
f[x1,x2,x3] =(beta+4h)-(beta+2h)x3-x1 =2h2h=1
Para f[x2,x3,x4] =(beta+6h)-(beta+4h)x4-x2 =2h2h=1 :
E para :

Passo 3

Como todas as diferenças de segunda ordem são constantes iguais a 1, as diferenças de ordem 3 e 4 serão zero. Isso indica que o polinômio interpolador tem grau 2 (pois a primeira ordem não é constante, mas a segunda é).

Passo 4

Usamos a forma de Newton até a segunda ordem:
P(x) = f[x0] +f[x0,x1],(x-x0) +f[x0,x1,x2],(x-x0)(x-x1)
Substituindo
f[x0]=f(x0)(desconhecido), f[x0,x1]=beta, f[x0,x1,x2]=1,
fica
P(x) = f(x0) +beta,(x-x0) +1cdot(x-x0)(x-x1)

Resposta

boxed P(x) = f(x0) +beta,(x-x0) +(x-x0)(x-x1),
que é de grau 2 porque todas as diferenças de segunda ordem são constantes (igual a 1) e as de ordem superior se anulam.

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