Demonstre que H2 n+1(x) é o único polinômio de grau mínimo que coincide com f e f^prime em x0, x1, ldots, xn. (Sugestão: Suponha que p(x) seja um outro tal polinômio e considere D=H2 n+1-p e D^prime em x0, ldots, xn).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Queremos demonstrar que o polinômio é o único polinômio de grau mínimo que coincide com uma função e sua derivada nos pontos . Isso está relacionado ao estudo de Interpolação de Hermite, onde buscamos um polinômio que não só passa pelos pontos dados, mas também tem derivadas específicas nesses pontos. Para resolver isso, vamos precisar usar propriedades de polinômios e de suas derivadas.

Passo 2

Vamos supor que exista outro polinômio que também satisfaz as mesmas condições: coincide com e em cada um dos pontos . Nosso objetivo é mostrar que esse polinômio deve ser igual a , ou seja, que não existe outro polinômio diferente com essas propriedades de grau mínimo.

Passo 3

Consideremos a diferença entre os dois polinômios: . Queremos analisar as propriedades desse polinômio . Como e coincidem com e nos pontos , temos que:
  • para cada .
  • para cada .

Passo 4

A partir disso, podemos afirmar que em cada ponto :
  • .
  • .
Portanto, o polinômio tem zeros múltiplos nos pontos . Especificamente, cada é uma raiz dupla de .

Passo 5

Sabemos que um polinômio de grau grau de D(x) >= 2(n+1) pode ter no máximo raízes, a menos que seja o polinômio nulo. No nosso caso, tem raízes (cada conta como duas raízes devido à multiplicidade), o que implica que:

Passo 6

Por outro lado, grau de D(x) <= 2n+1 é a diferença entre e . Se ambos os polinômios têm grau no máximo , então o grau de também é no máximo .

Passo 7

Mas temos uma contradição aqui: por um lado, D(x) = 0 para todo x deve ter grau pelo menos , e por outro, no máximo . A única forma de isso acontecer é se for o polinômio nulo, ou seja:

Passo 8

Se H2n+1(x) - p(x) = 0 implies H2n+1(x) = p(x) para todo , então:
Isso mostra que qualquer outro polinômio que satisfaz as mesmas condições que deve ser igual a ele.

Resposta

Portanto, é o único polinômio de grau mínimo que coincide com e nos pontos .

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