Demonstre que
é o único polinômio de grau mínimo que coincide com
e
em
,
. (Sugestão: Suponha que
seja um outro tal polinômio e considere
e
em
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Queremos demonstrar que o polinômio
é o único polinômio de grau mínimo que coincide com uma função
e sua derivada
nos pontos
. Isso está relacionado ao estudo de Interpolação de Hermite, onde buscamos um polinômio que não só passa pelos pontos dados, mas também tem derivadas específicas nesses pontos. Para resolver isso, vamos precisar usar propriedades de polinômios e de suas derivadas.
Passo 2
Vamos supor que exista outro polinômio
que também satisfaz as mesmas condições:
coincide com
e
em cada um dos pontos
. Nosso objetivo é mostrar que esse polinômio
deve ser igual a
, ou seja, que não existe outro polinômio diferente com essas propriedades de grau mínimo.
Passo 3
Consideremos a diferença entre os dois polinômios:
. Queremos analisar as propriedades desse polinômio
. Como
e
coincidem com
e
nos pontos
, temos que:
-
para cada . -
para cada .
Passo 4
A partir disso, podemos afirmar que em cada ponto
:
-
. -
.
Portanto, o polinômio
tem zeros múltiplos nos pontos
. Especificamente, cada
é uma raiz dupla de
.
Passo 5
Sabemos que um polinômio de grau
pode ter no máximo
raízes, a menos que seja o polinômio nulo. No nosso caso,
tem
raízes (cada
conta como duas raízes devido à multiplicidade), o que implica que:
Passo 6
Por outro lado,
é a diferença entre
e
. Se ambos os polinômios têm grau no máximo
, então o grau de
também é no máximo
.
Passo 7
Mas temos uma contradição aqui: por um lado,
deve ter grau pelo menos
, e por outro, no máximo
. A única forma de isso acontecer é se
for o polinômio nulo, ou seja:
Passo 8
Se
para todo
, então:
Isso mostra que qualquer outro polinômio
que satisfaz as mesmas condições que
deve ser igual a ele.
Resposta
Portanto,
é o único polinômio de grau mínimo que coincide com
e
nos pontos
.