Considere os pontos a seguir:
x_{i} 0.3 1.2 1.8 2.1 2.7 3.3 3.9
y_{i} 0.8 0.3 -0.3 0.5 1.5 1.9 2.7
Gostaríamos de estimar P_{3}(2.5), onde P_{3} é o polinômio interpolador de grau 3 calculado através da fórmula de Newton. Devemos escolher os pontos de forma a tentar minimizar o erro teórico máximo cometido.
Qual é o valor de \Delta^{1} y_{0} ?

Passo 1

O enunciado fornece uma tabela com pares (x_i,y_i):
\begin{array}{c|ccccccc} x_i & 0{,}3 & 1{,}2 & 1{,}8 & 2{,}1 & 2{,}7 & 3{,}3 & 3{,}9\\hline y_i & 0{,}8 & 0{,}3 & -0{,}3 & 0{,}5 & 1{,}5 & 1{,}9 & 2{,}7 \end{array}
A pergunta específica é: qual é o valor de \Delta^{1} y_{0}?

Passo 2

Vamos explicar o que significa \Delta^{1} y_{0}. O operador de diferença forward de ordem 1 é definido por
\Delta y_i = y_{i+1}-y_i.
Aqui \Delta^{1} y_{0} é apenas outra notação para \Delta y_0, ou seja, a diferença entre o segundo e o primeiro valor de y na tabela. O índice 0 indica que usamos y_0 e y_1.

Passo 3

Vou usar diretamente os dados da tabela: tomei de lá os valores
y_0 = 0{,}8,\qquad y_1 = 0{,}3.
Estou explicitando que esses números vêm da tabela fornecida no enunciado.

Passo 4

Agora aplico a fórmula da diferença:
\Delta^{1} y_{0} = y_1 - y_0 = 0{,}3 - 0{,}8.
Faço a subtração passo a passo: 0{,}3 - 0{,}8 = -(0{,}8-0{,}3)=-(0{,}5)=-0{,}5.

Passo 5

Interpretação rápida (útil na prova): \Delta^{1} y_{0}=-0{,}5 indica que, indo do ponto x_0 para x_1, o valor de y diminuiu em 0{,}5. Isso pode ser usado para construir a tabela de diferenças de Newton.

Resposta

-0{,}5

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