Dados empíricos de sistemas podem ser obtidos de diversas formas e por diversos meios.
Um skatista, com experiências práticas de diversas leis da física, simplifica diversas equações e pode chegar no seguinte conjunto de equações:
Verifique se é possível decompor a matriz de coeficientes desse sistema em LU e, caso seja possível, resolva o sistema utilizando as matrizes LU decompostas.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: verificar se a matriz de coeficientes do sistema pode ser decomposta em LU (sem pivotamento) e, se for possível, resolver o sistema usando essa decomposição.
Primeiro vamos ver quando é possível fazer LU sem pivotamento (método de Doolittle, por exemplo). Para uma matriz 2\times2 é suficiente que o pivô inicial a_{11} seja não nulo; mais geralmente, para evitar pivôs nulos ao longo do processo precisamos que os menores principais (determinantes das submatrizes superiores esquerdas) não sejam zero. Aqui:
a_{11}=4\neq0.
Também podemos checar o determinante da matriz para ter certeza de que a matriz é invertível (isso garante que não haverão pivôs nulos):
Logo, a decomposição LU sem pivotamento existe e podemos prosseguir.
Passo 3
Vou usar o esquema de Doolittle: escrevemos A=LU com L triangular inferior com 1’s na diagonal e U triangular superior. Para 2\times2 temos as incógnitas
Agora resolvemos o sistema Ax=b em duas etapas usando A=LU: primeiro resolvemos Ly=b (substituição direta), depois Ux=y (substituição regressiva). Para Ly=b com
Você pode usar essas matrizes L e U para resolver o sistema de novo com o mesmo processo (forward + backward) sem refazer eliminações, o que é muito útil em provas e em cálculos repetidos. Força aí — você já tem a técnica e os passos bem claros!]