Dados empíricos de sistemas podem ser obtidos de diversas formas e por diversos meios.
Um skatista, com experiências práticas de diversas leis da física, simplifica diversas equações e pode chegar no seguinte conjunto de equações:
\begin{cases}4 x_{1}+19.1 x_{2} & =11.11 \\\\ 19.1 x_{1}+153 x_{2} & =66.09\end{cases}
Verifique se é possível decompor a matriz de coeficientes desse sistema em LU e, caso seja possível, resolva o sistema utilizando as matrizes LU decompostas.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: verificar se a matriz de coeficientes do sistema pode ser decomposta em LU (sem pivotamento) e, se for possível, resolver o sistema usando essa decomposição.
Dados fornecidos:
\begin{cases} 4 x_{1}+19.1 x_{2} =11.11,\\[4pt] 19.1 x_{1}+153 x_{2} =66.09, \end{cases}
ou seja, a matriz de coeficientes e o vetor dos termos independentes são
A=\begin{pmatrix}4 & 19{,}1\\[4pt]19{,}1 & 153\end{pmatrix},\qquad b=\begin{pmatrix}11{,}11\\[4pt]66{,}09\end{pmatrix}.]

Passo 2

Primeiro vamos ver quando é possível fazer LU sem pivotamento (método de Doolittle, por exemplo). Para uma matriz 2\times2 é suficiente que o pivô inicial a_{11} seja não nulo; mais geralmente, para evitar pivôs nulos ao longo do processo precisamos que os menores principais (determinantes das submatrizes superiores esquerdas) não sejam zero. Aqui:
a_{11}=4\neq0.
Também podemos checar o determinante da matriz para ter certeza de que a matriz é invertível (isso garante que não haverão pivôs nulos):
\det(A)=4\cdot153-(19{,}1)^2=612-364{,}81=247{,}19\neq0.
Logo, a decomposição LU sem pivotamento existe e podemos prosseguir.

Passo 3

Vou usar o esquema de Doolittle: escrevemos A=LU com L triangular inferior com 1’s na diagonal e U triangular superior. Para 2\times2 temos as incógnitas
L=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] \ell_{21} & 1\end{pmatrix},\qquad U=\begin{pmatrix}u_{11} & u_{12}\\[4pt]0 & u_{22}\end{pmatrix}.
As fórmulas (derivadas de A=LU) dão:
u_{11}=a_{11},\qquad \ell_{21}=\frac{a_{21}}{u_{11}},\qquad u_{12}=a_{12},\qquad u_{22}=a_{22}-\ell_{21}u_{12}.
Substituindo os números:
u_{11}=4.
\ell_{21}=\frac{19{,}1}{4}=4{,}775.
u_{12}=19{,}1.
Calculemos u_{22}:
u_{22}=153-4{,}775\cdot19{,}1.
Faço a multiplicação:
4{,}775\cdot19{,}1=91{,}2025.
Então
u_{22}=153-91{,}2025=61{,}7975.
Portanto as matrizes LU são
L=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]4{,}775 & 1\end{pmatrix},\qquad U=\begin{pmatrix}4 & 19{,}1\\[4pt]0 & 61{,}7975\end{pmatrix}.]

Passo 4

Agora resolvemos o sistema Ax=b em duas etapas usando A=LU: primeiro resolvemos Ly=b (substituição direta), depois Ux=y (substituição regressiva). Para Ly=b com
L=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]4{,}775 & 1\end{pmatrix},\qquad b=\begin{pmatrix}11{,}11\\[4pt]66{,}09\end{pmatrix},
as equações são
y_{1}=11{,}11,
4{,}775\,y_{1}+y_{2}=66{,}09\quad\Rightarrow\quad y_{2}=66{,}09-4{,}775\cdot11{,}11.
Calculemos 4{,}775\cdot11{,}11:
4{,}775\cdot11{,}11=53{,}05025.
Logo
y_{2}=66{,}09-53{,}05025=13{,}03975.
Assim
y=\begin{pmatrix}11{,}11\\[4pt]13{,}03975\end{pmatrix}.]

Passo 5

Agora resolvemos Ux=y com
U=\begin{pmatrix}4 & 19{,}1\\[4pt]0 & 61{,}7975\end{pmatrix},\qquad y=\begin{pmatrix}11{,}11\\[4pt]13{,}03975\end{pmatrix}.
Da segunda equação (substituição regressiva):
61{,}7975\,x_{2}=13{,}03975\quad\Rightarrow\quad x_{2}=\frac{13{,}03975}{61{,}7975}.
Fazendo a divisão obtemos (aproximação):
x_{2}\approx0{,}2110037\quad(\text{arredondando, }x_{2}\approx0{,}21100).
Da primeira equação:
4\,x_{1}+19{,}1\,x_{2}=11{,}11\quad\Rightarrow\quad x_{1}=\frac{11{,}11-19{,}1\,x_{2}}{4}.
Substituindo x_{2}\approx0{,}2110037:
19{,}1\cdot0{,}2110037\approx4{,}0301703,
x_{1}=\frac{11{,}11-4{,}0301703}{4}=\frac{7{,}0798297}{4}\approx1{,}7699574\quad(\text{arredondando, }x_{1}\approx1{,}76996).]

Passo 6

Resumo dos resultados obtidos com a decomposição LU e solução do sistema (valores numéricos aproximados, arredondados quando indicado):
L=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]4{,}775 & 1\end{pmatrix},\qquad U=\begin{pmatrix}4 & 19{,}1\\[4pt]0 & 61{,}7975\end{pmatrix},
x_{1}\approx1{,}7699574,\qquad x_{2}\approx0{,}2110037.
Você pode usar essas matrizes L e U para resolver o sistema de novo com o mesmo processo (forward + backward) sem refazer eliminações, o que é muito útil em provas e em cálculos repetidos. Força aí — você já tem a técnica e os passos bem claros!]

Resposta

L=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]4{,}775 & 1\end{pmatrix}
U=\begin{pmatrix}4 & 19{,}1\\[4pt]0 & 61{,}7975\end{pmatrix}
x_{1}\approx1{,}7699574
x_{2}\approx0{,}2110037]

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