Dados empíricos de sistemas podem ser obtidos de diversas formas e por diversos meios.
Considere que um cientista renomado chega ao seguinte conjunto de equações,
\begin{cases}4 x_{1}+19.1 x_{2}+1.04 x_{3} & =2.57 \\\\ 19.1 x_{1}+153 x_{2}+0.37 x_{3} & =16.37 \\\\ 1.04 x_{1}+0.37 x_{2}+0.84 x_{3} & =0.26\end{cases}
Utilize o método de Gauss com pivotação Parcial para encontrar a solução desse sistema.

Passo 1

O enunciado fornece o sistema linear
\begin{cases} 4 x_{1}+19{,}1 x_{2}+1{,}04 x_{3} = 2{,}57,\\[4pt] 19{,}1 x_{1}+153 x_{2}+0{,}37 x_{3} = 16{,}37,\\[4pt] 1{,}04 x_{1}+0{,}37 x_{2}+0{,}84 x_{3} = 0{,}26. \end{cases}
O que é pedido: encontrar a solução (x_{1},x_{2},x_{3}) usando o método de Gauss com pivotação parcial.
Informações relevantes dadas:
A=\begin{pmatrix} 4 & 19{,}1 & 1{,}04\\[2pt] 19{,}1 & 153 & 0{,}37\\[2pt] 1{,}04 & 0{,}37 & 0{,}84 \end{pmatrix}, \qquad \mathbf{b}=\begin{pmatrix}2{,}57\\[2pt]16{,}37\\[2pt]0{,}26\end{pmatrix}.
Vamos aplicar eliminação de Gauss por etapas, escolhendo em cada coluna (a partir da coluna 1) o pivô com maior valor absoluto entre as linhas que ainda não foram eliminadas (isso é pivotação parcial), para reduzir erros numéricos.]

Passo 2

Primeira coluna: comparar valores absolutos dos elementos na coluna 1 das três linhas:
|4|=4,\quad |19{,}1|=19{,}1,\quad |1{,}04|=1{,}04.
O maior em módulo é 19{,}1 (segunda linha). Pela regra da pivotação parcial, trocamos a linha 1 com a linha 2 para colocar esse maior elemento no pivô.
Após trocar R_1\leftrightarrow R_2, a matriz aumentada fica
\left[\begin{array}{ccc|c} 19{,}1 & 153 & 0{,}37 & 16{,}37\\[4pt] 4 & 19{,}1 & 1{,}04 & 2{,}57\\[4pt] 1{,}04 & 0{,}37 & 0{,}84 & 0{,}26 \end{array}\right].
Observação rápida (didática): trocar linhas não altera o conjunto de soluções do sistema — apenas facilita a eliminação ao evitar pivôs muito pequenos.]

Passo 3

Eliminação na primeira coluna: queremos zerar os elementos abaixo do pivô a_{11}=19{,}1.
Calculamos os multiplicadores
m_{21}=\frac{4}{19{,}1}\approx 0{,}209424,\qquad m_{31}=\frac{1{,}04}{19{,}1}\approx 0{,}054450.
Esses m_{i1} significam: para zerar a entrada da linha i na coluna 1, fazemos R_i \leftarrow R_i - m_{i1}R_1.
Aplicando R_2 \leftarrow R_2 - m_{21}R_1:
\begin{aligned} \text{nova }a_{22} &= 19{,}1 - m_{21}\cdot 153 \approx 19{,}1 - 32{,}041872 = -12{,}941872,\\[4pt] \text{nova }a_{23} &= 1{,}04 - m_{21}\cdot 0{,}37 \approx 1{,}04 - 0{,}0774869 = 0{,}9625131,\\[4pt] \text{novo }b_2 &= 2{,}57 - m_{21}\cdot 16{,}37 \approx 2{,}57 - 3{,}4282709 = -0{,}8582709. \end{aligned}
Aplicando R_3 \leftarrow R_3 - m_{31}R_1:
\begin{aligned} \text{nova }a_{32} &= 0{,}37 - m_{31}\cdot 153 \approx 0{,}37 - 8{,}33085 = -7{,}96085,\\[4pt] \text{nova }a_{33} &= 0{,}84 - m_{31}\cdot 0{,}37 \approx 0{,}84 - 0{,}0201465 = 0{,}8198535,\\[4pt] \text{novo }b_3 &= 0{,}26 - m_{31}\cdot 16{,}37 \approx 0{,}26 - 0{,}8913465 = -0{,}6313465. \end{aligned}
A matriz aumentada após essas operações:
\left[\begin{array}{ccc|c} 19{,}1 & 153 & 0{,}37 & 16{,}37\\[4pt] 0 & -12{,}941872 & 0{,}9625131 & -0{,}8582709\\[4pt] 0 & -7{,}96085 & 0{,}8198535 & -0{,}6313465 \end{array}\right].]

Passo 4

Segunda coluna: agora pivotamos na submatriz das linhas 2 e 3 (coluna 2). Comparamos os módulos:
|-12{,}941872|\approx 12{,}941872,\quad |-7{,}96085|\approx 7{,}96085.
O maior em módulo é -12{,}941872 (já na linha 2), então não precisamos trocar linhas. O pivô na segunda etapa é a_{22}=-12{,}941872.
Para zerar a_{32} usamos o multiplicador
m_{32}=\frac{a_{32}}{a_{22}}=\frac{-7{,}96085}{-12{,}941872}\approx 0{,}615395.
Interpretando: R_3\leftarrow R_3 - m_{32}R_2.

Passo 5

Aplicando R_3 \leftarrow R_3 - m_{32}R_2, calculamos a nova linha 3:
Para a entrada (3,3):
\begin{aligned} \text{nova }a_{33} &= 0{,}8198535 - m_{32}\cdot 0{,}9625131\\[4pt] &\approx 0{,}8198535 - 0{,}615395\cdot 0{,}9625131\\[4pt] &\approx 0{,}8198535 - 0{,}5923257492 = 0{,}2275277508. \end{aligned}
Para o termo do lado direito:
\begin{aligned} \text{novo }b_3 &= -0{,}6313465 - m_{32}\cdot(-0{,}8582709)\\[4pt] &\approx -0{,}6313465 + 0{,}615395\cdot 0{,}8582709\\[4pt] &\approx -0{,}6313465 + 0{,}5281756195 = -0{,}1031708805. \end{aligned}
Agora a matriz aumentada está triangular superior:
\left[\begin{array}{ccc|c} 19{,}1 & 153 & 0{,}37 & 16{,}37\\[4pt] 0 & -12{,}941872 & 0{,}9625131 & -0{,}8582709\\[4pt] 0 & 0 & 0{,}2275277508 & -0{,}1031708805 \end{array}\right].
Breve explicação (didática): chegámos a um sistema triangular superior; agora podemos aplicar retro-substituição (back-substitution) para obter x_3, depois x_2, depois x_1.]

Passo 6

Retro-substituição — calcular x_{3} usando a terceira equação triangular:
0{,}2275277508\,x_{3} = -0{,}1031708805.
Logo
x_{3} = \frac{-0{,}1031708805}{0{,}2275277508}\approx -0{,}453449.
Explicação curta: dividimos o termo do lado direito pelo coeficiente da variável na última equação — é a forma padrão de começar a retro-substituição.

Passo 7

Calcular x_{2} usando a segunda equação:
-12{,}941872\,x_{2} + 0{,}9625131\,x_{3} = -0{,}8582709.
Isolando x_{2},
x_{2} = \frac{-0{,}8582709 - 0{,}9625131\,x_{3}}{-12{,}941872}.
Substituindo x_{3}\approx -0{,}453449:
\begin{aligned} 0{,}9625131\,x_{3} &\approx 0{,}9625131\cdot(-0{,}453449)\approx -0{,}436448905,\\[4pt] -0{,}8582709 - 0{,}9625131\,x_{3} &\approx -0{,}8582709 - (-0{,}436448905) = -0{,}421821995,\\[4pt] x_{2} &\approx \frac{-0{,}421821995}{-12{,}941872}\approx 0{,}032595. \end{aligned}
Comentário prático: mantenha sempre sinal correto ao substituir; dividir por um número negativo inverte o sinal, por isso o resultado de x_2 ficou positivo.]

Passo 8

Calcular x_{1} usando a primeira equação (linha 1 da matriz original após permutação):
19{,}1\,x_{1} + 153\,x_{2} + 0{,}37\,x_{3} = 16{,}37.
Isolando x_{1},
x_{1} = \frac{16{,}37 - 153\,x_{2} - 0{,}37\,x_{3}}{19{,}1}.
Substituindo x_{2}\approx 0{,}032595 e x_{3}\approx -0{,}453449:
\begin{aligned} 153\,x_{2} &\approx 153\cdot 0{,}032595 = 4{,}987035,\\[4pt] 0{,}37\,x_{3} &\approx 0{,}37\cdot(-0{,}453449) = -0{,}16777613,\\[4pt] 16{,}37 - 153\,x_{2} - 0{,}37\,x_{3} &\approx 16{,}37 - 4{,}987035 - (-0{,}16777613) = 11{,}55074113,\\[4pt] x_{1} &\approx \frac{11{,}55074113}{19{,}1}\approx 0{,}60474. \end{aligned}
Dica prática: em provas, mantenha 4–6 casas decimais durante os cálculos intermediários para evitar acumulação grande de erro, e arredonde só na resposta final.]

Passo 9

Resumo das soluções obtidas (valores aproximados com precisão compatível com os cálculos feitos):
x_{1}\approx 0{,}60474,\qquad x_{2}\approx 0{,}032595,\qquad x_{3}\approx -0{,}453449.

Resposta

x_{1}\approx 0{,}60474
x_{2}\approx 0{,}032595
x_{3}\approx -0{,}453449

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