Dados empíricos de sistemas podem ser obtidos de diversas formas e por diversos meios.
Considere que um cientista renomado chega ao seguinte conjunto de equações,
Vamos aplicar eliminação de Gauss por etapas, escolhendo em cada coluna (a partir da coluna 1) o pivô com maior valor absoluto entre as linhas que ainda não foram eliminadas (isso é pivotação parcial), para reduzir erros numéricos.]
Passo 2
Primeira coluna: comparar valores absolutos dos elementos na coluna 1 das três linhas:
O maior em módulo é 19{,}1 (segunda linha). Pela regra da pivotação parcial, trocamos a linha 1 com a linha 2 para colocar esse maior elemento no pivô.
Após trocar R_1\leftrightarrow R_2, a matriz aumentada fica
Observação rápida (didática): trocar linhas não altera o conjunto de soluções do sistema — apenas facilita a eliminação ao evitar pivôs muito pequenos.]
Passo 3
Eliminação na primeira coluna: queremos zerar os elementos abaixo do pivô a_{11}=19{,}1.
Breve explicação (didática): chegámos a um sistema triangular superior; agora podemos aplicar retro-substituição (back-substitution) para obter x_3, depois x_2, depois x_1.]
Passo 6
Retro-substituição — calcular x_{3} usando a terceira equação triangular:
Comentário prático: mantenha sempre sinal correto ao substituir; dividir por um número negativo inverte o sinal, por isso o resultado de x_2 ficou positivo.]
Passo 8
Calcular x_{1} usando a primeira equação (linha 1 da matriz original após permutação):
Dica prática: em provas, mantenha 4–6 casas decimais durante os cálculos intermediários para evitar acumulação grande de erro, e arredonde só na resposta final.]
Passo 9
Resumo das soluções obtidas (valores aproximados com precisão compatível com os cálculos feitos):